Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

80
■ Действительно, F
(x
2
, y) - вероятность попадания в угол с
вершиной в точке
(x
2
, y), а F(x
1
, y) - в угол с вершиной в точке
(x
1
, y). Так как
yxyx
CC
,,
12
⊃
, то ).()(
,,
12
yxyx
CPCP ≥ Но
это означает, что
F(x
2
, y)
≥
F(x
1
, y). ■
4) Обозначим через F
1
(x) - функцию распределения слу-
чайной величины
X, а F
2
(y) - случайной величины Y. Тогда
lim ( , ) ( )
x
Fxy F y
→+∞
=
2
и lim ( , ) ( ).
y
Fxy F x
→+∞
=
1
■ Пусть
x
1
, x
2
, ..., x
n
, ... - неограниченная монотонно возрас-
тающая последовательность действительных чисел. Обозначим
через
n
x
A
событие {X < x
n
}. Получим монотонно возрастающую
последовательность событий, причем
.
1
Ω=
∑
∞
=n
x
n
A
Последователь-
ность событий
},{
,
yYxXC
nyx
n
<
<
=
также монотонно возрастает и
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
=Ω===
11 1
,
,
nn n
yyxyyxyx
BBABBAC
nnn
где
В
y
= {Y < y}. Как было замечено в главе III
).()()()lim()(lim
2,,
yFyYPBPCPCP
yyx
n
yx
n
nn
=
<
=
=
=
∞→∞→
Значит
)(),(lim
2
yFyxF
x
=
∞→
. Аналогично доказывается, что
)(),(lim
1
yFyxF
x
=
+∞→
. ■
5) .1),(lim =
∞→
∞→
yxF
y
x
■ Пусть
12
, , ..., ,...
n
xx x ;
12
, , ..., ,...
n
yy y - две неограничен-
ные монотонно возрастающие последовательности действитель-
ных чисел. Тогда для событий
},{
, nnyx
yYxXC
nn
<
<
=
вер-
    ■ Действительно, F(x2, y) - вероятность попадания в угол с
вершиной в точке (x2, y), а F(x1, y) - в угол с вершиной в точке
(x1, y). Так как C x 2 , y ⊃ C x1 , y , то P (C x 2 , y ) ≥ P (C x1 , y ). Но
это означает, что F(x2, y) ≥ F(x1, y). ■
    4) Обозначим через F1(x) - функцию распределения слу-
чайной величины X, а F2(y) - случайной величины Y. Тогда
 lim F ( x , y ) = F2 ( y ) и lim F ( x , y ) = F1 ( x ).
x →+∞                               y →+∞

   ■ Пусть x1, x2, ..., xn, ... - неограниченная монотонно возрас-
тающая последовательность действительных чисел. Обозначим
через Ax n событие {X < xn}. Получим монотонно возрастающую
                                                      ∞
последовательность событий, причем                    ∑ Ax    n
                                                                  = Ω. Последователь-
                                                   n =1
ность событий C x n , y = { X < xn ,Y < y} также монотонно возрастает и

              ∞                 ∞                         ∞
              ∑ Cx   n,y
                           =   ∑ Ax    n
                                            B y = B y ∑ Ax n = B y Ω = B y ,
             n =1              n =1                   n =1
где Вy = {Y < y}. Как было замечено в главе III
  lim P (C x n , y ) = P ( lim C x n , y ) = P ( B y ) = P (Y < y ) = F2 ( y ).
 n→∞                       n→∞

Значит lim F ( x, y ) = F2 ( y ) . Аналогично доказывается, что
         x→∞
  lim F ( x, y ) = F1 ( y ) . ■
x → +∞
    5) lim F ( x, y ) = 1.
         x →∞
         y →∞
   ■ Пусть x1, x2 , ..., xn ,... ; y1, y2 , ..., yn ,... - две неограничен-
ные монотонно возрастающие последовательности действитель-
ных чисел. Тогда для событий C x n , y n = { X < xn , Y < y n } вер-


                                                 80

Страницы