Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

100 Арифметические линейные пространства Гл. 2
Вторая система будет составлена из строк матрицы A:
A
стр
=
£
(¯a
1
)
t
, (¯a
2
)
t
, ..., (¯a
m
)
t
¤
; (12.3)
ее элементы принадлежат арифметическому линейному пространс-
тву векторов-строк
∗
R
n
[см. обозначение (2.3) в первой главе].
Определение 12.2. Столбцовым (строчным) рангом матрицы
A называется ранг с.в. (12.2) [соответственно (12.3)]. Обозначения:
rank
стб
(A) = rank(A
стб
); rank
стр
(A) = rank(A
стр
). (12.4)
Ясно, что оба ранга являются целыми числами, заключенными в
пределах от 0 до min(m, n), причем значение 0 достигается (в обоих
случаях) лишь для нулевой матрицы. Кроме того, поскольку при
транспонировании столбцы и строки матрицы меняются ролями, то,
очевидно,
rank
стб
(A
t
) = rank
стр
(A); rank
стр
(A
t
) = rank
стб
(A). (12.5)
Предложение 12.1 утверждает, что элементарные преобразования
над столбцами матрицы A не меняют hA
стб
i и, следовательно, сохра-
няют rank
стб
(A), а поскольку векторы-столбцы и векторы-строки ал-
гебраически совершенно равноправны (действиям над строками дан-
ной матрицы отвечают аналогичные действия над столбцами транс-
понированной матрицы), то справедлива версия предложения 12.1,
относящаяся к строкам. Поэтому элементарные преобразования над
строками матрицы не меняют hA
стр
i и, соответственно, сохраняют
rank
стр
(A).
В следующем пункте мы убедимся в том, что столбцовый ранг
сохраняется и при элементарных преобразованиях над строками, а
строчный ранг — при преобразованиях над столбцами.
12.3. Инвариантность столбцового (строчного) ранга при
элементарных преобразованиях над строками (столбцами).
Докажем сначала следующее вспомогательное
Предложение 12.2. 1. Линейные соотношения между столбца-
ми матрицы сохраняются при элементарных преобразованиях над ее
строками.
100         Арифметические линейные пространства                  Гл. 2

  Вторая система будет составлена из строк матрицы A:
                           £                                ¤
                     Aстр = (ā1 )t , (ā2 )t , ..., (ām )t ;    (12.3)

ее элементы принадлежат арифметическому линейному пространс-
                      ∗
тву векторов-строк Rn [см. обозначение (2.3) в первой главе].
  Определение 12.2. Столбцовым (строчным) рангом матрицы
A называется ранг с.в. (12.2) [соответственно (12.3)]. Обозначения:

      rankстб (A) = rank(Aстб ); rankстр (A) = rank(Aстр ).       (12.4)


  Ясно, что оба ранга являются целыми числами, заключенными в
пределах от 0 до min(m, n), причем значение 0 достигается (в обоих
случаях) лишь для нулевой матрицы. Кроме того, поскольку при
транспонировании столбцы и строки матрицы меняются ролями, то,
очевидно,

      rankстб (At ) = rankстр (A); rankстр (At ) = rankстб (A).   (12.5)

   Предложение 12.1 утверждает, что элементарные преобразования
над столбцами матрицы A не меняют hAстб i и, следовательно, сохра-
няют rankстб (A), а поскольку векторы-столбцы и векторы-строки ал-
гебраически совершенно равноправны (действиям над строками дан-
ной матрицы отвечают аналогичные действия над столбцами транс-
понированной матрицы), то справедлива версия предложения 12.1,
относящаяся к строкам. Поэтому элементарные преобразования над
строками матрицы не меняют hAстр i и, соответственно, сохраняют
rankстр (A).
   В следующем пункте мы убедимся в том, что столбцовый ранг
сохраняется и при элементарных преобразованиях над строками, а
строчный ранг — при преобразованиях над столбцами.

  12.3. Инвариантность столбцового (строчного) ранга при
элементарных преобразованиях над строками (столбцами).
Докажем сначала следующее вспомогательное
  Предложение 12.2. 1. Линейные соотношения между столбца-
ми матрицы сохраняются при элементарных преобразованиях над ее
строками.

Страницы