Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 98 стр.

98          Арифметические линейные пространства           Гл. 2

зависит ни от каких "случайных факторов" типа "способа приве-
дения к ступенчатому виду"): матрице однозначно сопоставляется
однородная с.л.у., для которой однозначно определено множество
(подпространство) ее решений, которому однозначно сопоставляет-
ся число — его размерность. ¤
     Доказанное предложение делает корректным следующее
  Определение 11.2. Количество ступенек в ступенчатом виде
матрицы A называется (ступенчатым) рангом этой матрицы и обо-
значается rank(A).
   Замечание 11.4. Ранг матрицы является важнейшей числовой ха-
рактеристикой этой матрицы.
   Число rank(A) является целым неотрицательным и не может пре-
вышать наименьшего из размеров матрицы.
   Существует еще три (равносильных) способа определения ранга,
обладающих бо́льшей естественностью и наглядностью. Два из них
(столбцовый и строчный ранги) будут изучены уже в следующем
параграфе. Третий способ (понятие минорного ранга) будет рас-
сматриваться в § 30.
   К концу четвертой главы вы получите доказательство совпадения
всех четырех рангов.
   Описанное выше понятие ступенчатого ранга обладает лишь од-
ним (но весомым) преимуществом: легче всего ранг вычисляется
именно с помощью приведения матрицы к ступенчатому виду.



     § 12. Столбцовый и строчный ранги матрицы

   12.1. Ранг системы векторов и его свойства. Рассмотрим
с.в. A [см. (8.1)] в арифметическом линейном пространстве Rn и ее
линейную оболочку hAi [см. (8.4)], являющуюся линейным подпро-
странством в Rn .
  Определение 12.1. Рангом системы векторов называется раз-
мерность ее линейной оболочки. Обозначение:
                       rank(A) = dim(hAi).                 (12.1)

  По теореме 10.1, в hAi можно выбрать базис из числа порождаю-
щих векторов. Поэтому 0 6 rank(A) 6 min(n, k), где k — количество
векторов в с.в. A.