Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 96 стр.

96         Арифметические линейные пространства               Гл. 2

предложение 11.1 дважды [сначала рассматривая (11.2) как базис,
а (11.1) — как линейно независимую с.в., а потом наоборот], мы по-
лучим два неравенства: s 6 r и r 6 s, т. е. получим равенство s = r,
утверждающее равномощность двух базисов. ¤

  11.2. Понятие размерности для линейного подпространс-
тва в пространстве Rn . Согласно теоремам 10.1 и 11.1, в любом
подпространстве V 6 Rn существует базис и все базисы в одном и
том же подпространстве имееют одинаковую мощность. Поэтому
корректно следующее
  Определение 11.1. Размерностью линейного подпространства
V 6 Rn называется мощность некоторого базиса в этом подпростра-
нстве. Размерность подпространства V обозначается dim(V ).
  В следующем предложении собраны основные свойства размерно-
сти.
  Предложение 11.2. 1. Размерность любого линейного подпро-
странства V 6 Rn является целым неотрицательным числом, не
превосходящим n, причем dim(V ) = 0 тогда и только тогда, когда
V = O, и dim(V ) = n тогда и только тогда, когда V = Rn .
  2. Справедливо следующее свойство строгой монотонности раз-
мерности: если V и W — два подпространства в пространстве Rn ,
одно из которых строго содержится в другом (V ⊂ W ), то их раз-
мерности связаны строгим неравенством dim(V ) < dim(W ).
  3. Если два линейных подпространства V и W связаны включе-
нием V ⊆ W, а их размерности одинаковы [ dim(V ) = dim(W ) ], то и
сами подпространства совпадают: V = W.
  Доказательство немедленно следует из определения 11.1, приме-
ра 10.2 (в котором описывался естественный базис в пространстве
Rn ) и предложения 10.2 (свойства продолжения базисов); подробно-
сти остаются для обдумывания читателям. ¤
   Замечание 11.1. Следует предостеречь читателя: из одного толь-
ко совпадения размерностей dim(V ) = dim(W ) (без предположения о
наличии включения между подпространствами) отнюдь не следует,
что совпадают сами подпространства.
  Замечание 11.2. Из изложенного в замечании 10.1 легко усмат-
ривается тот факт, что величина dim(V ) доставляет максимум для
мощностей линейно независивых с.в. в подпространстве V. Если вы