Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

94 Арифметические линейные пространства Гл. 2
нулю и такие, что имеет место равенство
s
X
j=1
λ
j
¯
a
j
=
¯
0 . (11.3)
Каждый из векторов системы (11.1) можно разложить по базису
(11.2):
¯a
j
=
r
X
i=1
a
ij
¯
b
i
; j = 1, ..., s. (11.4)
Обратите внимание на принцип нумерации скаляров a
ij
: второй
номер j — это номер вектора в с.в. (11.1), а первый номер i — это
номер коэффициента в разложении этого вектора по базису (11.2).
Подставив выражения (11.4) в равенство (11.3), мы придадим это-
му равенству равносильный вид
s
X
j=1
λ
j
r
X
i=1
a
ij
¯
b
i
=
¯
0 . (11.5)
Теперь нам надо вспомнить правила обращения с суммами:
— внесение постоянного (не зависящего от i) множителя λ
j
под
знак суммы (по индексу i) [см. формулу (2.5) и последующие ком-
ментарии в первой главе];
— перемена порядка суммирования [см. формулу (2.6)];
— вынесение постоянного (не зависящего от i) векторного множи-
теля
¯
b
i
вправо из-под знака суммы (по индексу i);
— перестановка скалярных множителей λ
j
и a
ij
под знаком суммы
(по индексу j).
Таким образом, получается следующая цепочка преобразований
левой части равенства (11.5):
s
X
j=1
λ
j
¯a
j
=
s
X
j=1
λ
j
Ã
r
X
i=1
a
ij
¯
b
i
!
=
=
s
X
j=1
Ã
r
X
i=1
λ
j
a
ij
¯
b
i
!
=
r
X
i=1
s
X
j=1
λ
j
a
ij
¯
b
i
=
=
r
X
i=1
s
X
j=1
a
ij
λ
j
¯
b
i
=
r
X
i=1
µ
i
¯
b
i
,
94        Арифметические линейные пространства                                         Гл. 2

нулю и такие, что имеет место равенство
                                     s
                                     X
                                             λj āj = 0̄ .                             (11.3)
                                      j=1


   Каждый из векторов системы (11.1) можно разложить по базису
(11.2):
                         r
                         X
                   āj =   aij b̄i ; j = 1, ..., s.      (11.4)
                                   i=1

  Обратите внимание на принцип нумерации скаляров aij : второй
номер j — это номер вектора в с.в. (11.1), а первый номер i — это
номер коэффициента в разложении этого вектора по базису (11.2).
  Подставив выражения (11.4) в равенство (11.3), мы придадим это-
му равенству равносильный вид
                                s
                                X          r
                                           X
                                      λj          aij b̄i = 0̄ .                       (11.5)
                                j=1         i=1

   Теперь нам надо вспомнить правила обращения с суммами:
   — внесение постоянного (не зависящего от i) множителя λj под
знак суммы (по индексу i) [см. формулу (2.5) и последующие ком-
ментарии в первой главе];
   — перемена порядка суммирования [см. формулу (2.6)];
   — вынесение постоянного (не зависящего от i) векторного множи-
теля b̄i вправо из-под знака суммы (по индексу i);
   — перестановка скалярных множителей λj и aij под знаком суммы
(по индексу j).
   Таким образом, получается следующая цепочка преобразований
левой части равенства (11.5):
               s          s
                               Ã r        !
              X           X     X
                 λj āj =   λj     aij b̄i =
            j=1             j=1              i=1
                      Ã                      !                               
                s
                X         r
                          X                          r
                                                     X         s
                                                               X
            =                   λj aij b̄i       =                   λj aij b̄i  =
                j=1       i=1                        i=1       j=1
                                      
                r
                X         s
                          X                          r
                                                     X
            =                  aij λj  b̄i =             µi b̄i ,
                i=1       j=1                        i=1

Страницы