Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 92 стр.

92         Арифметические линейные пространства                  Гл. 2

подпространство может быть задано (n × s)-матрицей A, составлен-
ной из порождающих векторов-столбцов. На выходе остается под-
матрица Br матрицы A, содержащая те из столбцов этой матрицы,
которые входят в некоторый базис данного подпространства.
  Алгоритм выбора базиса нетрудно записать на каком-либо из ал-
горитмических языков; различные его варианты используются ком-
пьютерными математическими системами Maple и MATLAB. В сле-
дующих пунктах мы (хотя и бегло) познакомимся с работой Maple в
задачах построения базисов.

   10.4. Свойство продолжения базисов. В дальнейшем нам
понадобится так называемое свойство продолжения базисов: базис
в некотором подпространстве можно "продолжить", т. е. включить
его в базис в каком-либо более широком подпространстве (в частно-
сти, базис в подпространстве можно продолжить до базиса во всем
пространстве Rn ). Точнее, справедливо следующее
   Предложение 10.2. 1. Всякая линейно независимая система
векторов в линейном подпространстве V 6 Rn может быть включена
в некоторый базис этого подпространства.
   2. Пусть V и W два линейных подпространства в Rn , причем V
содержится в W (т. е. V ⊆ W ). Тогда всякий базис подпространства
V может быть дополнен до базиса в подпространстве W.
   Доказательство. 1. Пусть A = [ā1 , ..., āk ] — линейно независимая
с.в. в подпространстве V. Мы можем считать, что первые k шагов в
процессе построения базиса, описанном в первой части доказатель-
ства теоремы 10.1, уже сделаны. Доведя этот процесс до конца,
мы получим базис в V, содержащий данную линейно независимую
с.в. A.
   2. Если имеется пара вложенных одно в другое подпространств
V ⊆ W , то всякий базис в V, будучи линейно независимой с.в. в W,
допускает (по доказанному в п. 1) продолжение до базиса в W.
   (Дополнительно заметим, что если W строго содержит V, то и
полученный базис в W будет строго содержать исходный базис в V.
Почему?) ¤