Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 91 стр.

§ 10          Базисы в линейных подпространствах                 91

такая, что всякий вектор системы A линейно выражается через век-
торы системы Br . По предположению, с.в. A является порождающей
для V, т. е. всякий вектор b̄ ∈ V линейно выражается через векто-
ры этой системы. Подставляя в полученное выражение для b̄ через
āi (i = 1, ..., s) выражения каждого из āi через векторы системы Br
и пользуясь законами векторной алгебры, мы получим (после пере-
группировки) выражение b̄ через Br . Этим будет установлено, что
с.в. (10.1) является базисом подпространства V. ¤
   Замечание 10.1. Внимательно проанализировав ход доказатель-
ства первого утверждения теоремы 10.1, мы можем заметить, что
фактически установлено следующее: максимальная линейно неза-
висимая система векторов подпространства V (т. е. такая линейно
независимая с.в., которая не содержится ни в какой строго более
широкой линейно независимой системе) является базисом в V.
   Обратное утверждение (о том, что всякий базис является макси-
мальной линейно независимой с.в.) также легко усматривается из
п. 3 предложения 9.2.
   Таким образом, определение базиса (см. определение 10.1) рав-
носильно другому возможному определению: базисом подпростран-
ства можно назвать максимальную линейно независимую систему
векторов из этого подпространства.
   В качестве логического упражнения можно предложить читате-
лям доказать, что имеется еще и третий равносильный способ ха-
рактеризации базисов: система векторов является базисом в подпро-
странстве V тогда и только тогда, когда она является минимальной
порождающей с.в. для V. (Вернитесь в связи с этим к определению
8.4 и последующим рекомендациям.)
  Замечание 10.2. Обратим внимание юных компьютерщиков на
радикальное различие рассуждений в первой и во второй частях до-
казательства теоремы 10.1.
  В своей первой части эта теорема является, как говорят, "теоре-
мой существования". На каждом шаге построения базиса мы до-
вольствуемся тем, что вектор, подлежащий добавлению к ранее по-
строенной системе, существует. Не указывается (и не может быть
указано) никакого явного способа выбора этого вектора из (беско-
нечного) множества векторов, которые могут быть (на данном шаге)
добавлены.
  Вторая часть доказательства является, по сути, описанием рабо-
ты алгоритма выбора базиса в подпространстве. Изначально это