Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 10 Базисы в линейных подпространствах 89
(и следовательно, по уже доказанному, единственность разложения
будет иметь место и для любого вектора
¯
b из подпространства V ).
В самом деле, если
¯
0 =
k
X
i=1
λ
i
¯a
i
,
а
¯a =
k
X
i=1
α
i
¯a
i
есть разложение вектора ¯a по системе A, то, складывая (с исполь-
зованием законов векторной алгебры) эти формулы почленно, мы
получим
¯a =
k
X
i=1
(λ
i
+ α
i
)¯a
i
.
А это есть еще одно разложение вектора ¯a по системе A. В си-
лу предположения о единственности разложения для вектора ¯a, мы
получим λ
i
+ α
i
= α
i
для любого номера i, откуда вытекает обраще-
ние в нуль всех λ
i
, что свидетельствует о линейной независимости
с.в. A. ¤
10.3. Теорема существования базиса. В этом пункте нам
предстоит доказать факт первостепенной важности — теорему, ут-
верждающую, что в любом линейном подпространстве арифметиче-
ского линейного пространства существует базис.
Теорема 10.1. 1. В любом линейном подпространстве V 6 R
n
существует базис B. Количество векторов в базисе B не превосходит
числа n.
2. Если подпространство V представлено как линейная оболочка
V = hAi некоторой системы векторов A, то базисные векторы можно
выбрать из числа порождающих векторов.
Доказательство. 1. Если подпространство V = O, то (см. при-
мер 10.1) в качестве базиса в нем можно рассматривать пустую с.в.
B = [ ]. Пусть далее подпространство V является ненулевым.
Выберем произвольный ненулевой вектор
¯
b
1
∈ V и начнем ин-
дуктивный процесс построения базиса в V с одноэлементной с.в.
B
1
= [
¯
b
1
] . Эта с.в. является линейно независимой (см. замечание 9.2).
§ 10           Базисы в линейных подпространствах                   89

(и следовательно, по уже доказанному, единственность разложения
будет иметь место и для любого вектора b̄ из подпространства V ).
   В самом деле, если
                                k
                                X
                           0̄ =   λi āi ,
                                    i=1

а
                                    k
                                    X
                             ā =         αi āi
                                    i=1

есть разложение вектора ā по системе A, то, складывая (с исполь-
зованием законов векторной алгебры) эти формулы почленно, мы
получим
                            Xk
                       ā =    (λi + αi )āi .
                              i=1

   А это есть еще одно разложение вектора ā по системе A. В си-
лу предположения о единственности разложения для вектора ā, мы
получим λi + αi = αi для любого номера i, откуда вытекает обраще-
ние в нуль всех λi , что свидетельствует о линейной независимости
с.в. A. ¤


  10.3. Теорема существования базиса. В этом пункте нам
предстоит доказать факт первостепенной важности — теорему, ут-
верждающую, что в любом линейном подпространстве арифметиче-
ского линейного пространства существует базис.
  Теорема 10.1. 1. В любом линейном подпространстве V 6 Rn
существует базис B. Количество векторов в базисе B не превосходит
числа n.
  2. Если подпространство V представлено как линейная оболочка
V = hAi некоторой системы векторов A, то базисные векторы можно
выбрать из числа порождающих векторов.
  Доказательство. 1. Если подпространство V = O, то (см. при-
мер 10.1) в качестве базиса в нем можно рассматривать пустую с.в.
B = [ ]. Пусть далее подпространство V является ненулевым.
  Выберем произвольный ненулевой вектор b̄1 ∈ V и начнем ин-
дуктивный процесс построения базиса в V с одноэлементной с.в.
B1 = [b̄1 ] . Эта с.в. является линейно независимой (см. замечание 9.2).

Страницы