Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 10 Базисы в линейных подпространствах 87
¯
f
r+1
=
−h
1(r+1)
−h
2(r+1)
...
−h
r(r+1)
1
0
...
0
,
¯
f
r+2
=
−h
1(r+2)
−h
2(r+2)
...
−h
r(r+2)
0
1
...
0
, ...,
¯
f
n
=
−h
1n
−h
2n
...
−h
rn
0
0
...
1
.
Если "укоротить" эти векторы, выбросив первые r компонент (см.
замечание 9.3), то останется система E
n−r
единичных векторов про-
странства R
n−r
, которая линейно независима (см. предыдущий при-
мер). А значит, в силу замечания 9.3, является линейно независимой
и исходная с.в. (8.10).
§
§
§ 10. Базисы в линейных подпространствах
пространства R
n
10.1. Понятие базиса в линейном подпространстве ариф-
метического линейного пространства. Пусть V является ли-
нейным подпространством в пространстве R
n
.
Определение 10.1. Конечная с.в. A называется базисом подпро-
странства V, если
1) система A порождает V, т. е. hAi = V ;
2) система A линейно независима.
Пример 10.1. В соответствии с замечаниями 8.4 и 9.1, пустую
с.в. можно считать базисом нулевого подпространства V = O.
Система из одного ненулевого вектора ¯a ∈ R
n
является базисом
линейной оболочки V = h¯ai. Базисом V будет также и любая одно-
элементная система [
¯
b], где
¯
b = α¯a (α ∈ R, α 6= 0). (Почему?)
Пример 10.2. Система единичных векторов E
n
(см. примеры 8.2
и 9.1) является базисом во всем пространстве (V = R
n
).
Определение 10.2. Базис E
n
называется естественным бази-
сом пространства R
n
.
§ 10             Базисы в линейных подпространствах                    87



                                                             
              −h1(r+1)              −h1(r+2)                 −h1n
             −h2(r+1)            −h2(r+2)               −h2n 
                                                             
               ...                 ...                  ... 
                                                             
             −hr(r+1)  ¯         −hr(r+2)               −hrn 
   f¯r+1   =           , fr+2 =                    ¯
                                              , ..., fn =       .
                1                   0                   0 
                                                             
                0                   1                   0 
                                                             
                ...                   ...                     ...
                 0                     0                       1

   Если "укоротить" эти векторы, выбросив первые r компонент (см.
замечание 9.3), то останется система En−r единичных векторов про-
странства Rn−r , которая линейно независима (см. предыдущий при-
мер). А значит, в силу замечания 9.3, является линейно независимой
и исходная с.в. (8.10).



       § 10. Базисы в линейных подпространствах
                     пространства Rn

  10.1. Понятие базиса в линейном подпространстве ариф-
метического линейного пространства. Пусть V является ли-
нейным подпространством в пространстве Rn .
  Определение 10.1. Конечная с.в. A называется базисом подпро-
странства V, если
  1) система A порождает V, т. е. hAi = V ;
  2) система A линейно независима.
   Пример 10.1. В соответствии с замечаниями 8.4 и 9.1, пустую
с.в. можно считать базисом нулевого подпространства V = O.
   Система из одного ненулевого вектора ā ∈ Rn является базисом
линейной оболочки V = hāi. Базисом V будет также и любая одно-
элементная система [b̄], где b̄ = αā (α ∈ R, α 6= 0). (Почему?)
   Пример 10.2. Система единичных векторов En (см. примеры 8.2
и 9.1) является базисом во всем пространстве (V = Rn ).
  Определение 10.2. Базис En называется естественным бази-
сом пространства Rn .

Страницы