Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

86 Арифметические линейные пространства Гл. 2
что для некоторых (не всех нулевых) скаляров λ
1
, ..., λ
k
, µ выполня-
ется равенство
λ
1
¯a
1
+ ... + λ
k
¯a
k
+ µ
¯
b =
¯
0.
Ясно, что коэффициент µ 6= 0 (в противном случае последнее ра-
венство свидетельствовало бы о линейной зависимости с.в. A, что
противоречит предположению). А это позволяет (см. доказатель-
ство предыдущего пункта) линейно выразить вектор
¯
b через векто-
ры системы A. Последнее же означает, что вектор
¯
b принадлежит
линейной оболочке hAi .
Обратно, если вектор
¯
b ∈ hAi , то, в силу п. 2 настоящего предло-
жения, система B будет линейно зависимой. ¤
Замечание 9.3. Рассмотрим конечную с.в. (8.1) в пространстве
R
n
. Выберем какие-либо r компонент из общего набора x
1
, ..., x
n
и
выбросим эти компоненты у всех векторов системы A, перейдя тем
самым к системе векторов в пространстве R
n−r
. Эту операцию на-
зовем "укорачиванием" векторов и обозначим символом A
0
систему
укороченных векторов.
Из предложения 9.1 легко усматривается, что линейная зависи-
мость с.в. A влечет линейную зависимость с.в. A
0
(если в истинном
векторном равенстве выбросить у всех векторов некоторые компо-
ненты, то равенство останется истинным).
(Вместо несколько жаргонного термина "укорачивание" хотелось
бы употребить более адекватный термин "проектирование", но, на-
верное, это потребовало бы дополнительных объяснений, здесь не
очень своевременных.)
9.4. Примеры линейно независимых с.в. Приводимые ниже
примеры являются продолжением примеров 8.2 и 8.3.
Пример 9.1. Система единичных векторов E
n
в пространстве R
n
является линейно независимой. В самом деле, если
P
n
i=1
λ
i
¯e
i
=
¯
0,
то нулевым будет вектор
¯
λ, составленный из коэффициентов этой
линейной комбинации, а значит, и сами эти коэффициенты будут
все равны нулю.
Пример 9.2. Рассмотрим с.в. (8.10), составленную из базисных
решений однородной с.л.у. (8.5h), т. е. систему
86         Арифметические линейные пространства                 Гл. 2

что для некоторых (не всех нулевых) скаляров λ1 , ..., λk , µ выполня-
ется равенство
                     λ1 ā1 + ... + λk āk + µb̄ = 0̄.

   Ясно, что коэффициент µ 6= 0 (в противном случае последнее ра-
венство свидетельствовало бы о линейной зависимости с.в. A, что
противоречит предположению). А это позволяет (см. доказатель-
ство предыдущего пункта) линейно выразить вектор b̄ через векто-
ры системы A. Последнее же означает, что вектор b̄ принадлежит
линейной оболочке hAi .
   Обратно, если вектор b̄ ∈ hAi , то, в силу п. 2 настоящего предло-
жения, система B будет линейно зависимой. ¤

   Замечание 9.3. Рассмотрим конечную с.в. (8.1) в пространстве
 n
R . Выберем какие-либо r компонент из общего набора x1 , ..., xn и
выбросим эти компоненты у всех векторов системы A, перейдя тем
самым к системе векторов в пространстве Rn−r . Эту операцию на-
зовем "укорачиванием" векторов и обозначим символом A0 систему
укороченных векторов.
   Из предложения 9.1 легко усматривается, что линейная зависи-
мость с.в. A влечет линейную зависимость с.в. A0 (если в истинном
векторном равенстве выбросить у всех векторов некоторые компо-
ненты, то равенство останется истинным).
   (Вместо несколько жаргонного термина "укорачивание" хотелось
бы употребить более адекватный термин "проектирование", но, на-
верное, это потребовало бы дополнительных объяснений, здесь не
очень своевременных.)


  9.4. Примеры линейно независимых с.в. Приводимые ниже
примеры являются продолжением примеров 8.2 и 8.3.

   Пример 9.1. Система единичных векторов En в пространстве
                                                 Pn          Rn
является линейно независимой. В самом деле, если i=1 λi ēi = 0̄,
то нулевым будет вектор λ̄, составленный из коэффициентов этой
линейной комбинации, а значит, и сами эти коэффициенты будут
все равны нулю.

  Пример 9.2. Рассмотрим с.в. (8.10), составленную из базисных
решений однородной с.л.у. (8.5h), т. е. систему

Страницы