Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

84 Арифметические линейные пространства Гл. 2
(линейно независимой) тогда и только тогда, когда однородная с.л.у.
A
n×k
·
¯
λ
k× 1
=
¯
0
n×1
(8.8h)
имеет нетривиальное решение (имеет только тривиальное решение).
Доказательство. С.в. A будет линейно зависимой, если вектор-
ное равенство
λ
1
¯a
1
+ λ
2
¯a
2
+ ... + λ
k
¯a
k
=
¯
0 (8.9h)
может быть истинным для некоторых (не всех нулевых) значений
коэффициентов λ
j
(j = 1, 2, ..., k). Если же равенство (8.9h) влечет
обращение в нуль всех λ
j
, то с.в. является линейно независимой.
При доказательстве предложения 8.2 объяснялось, что векторное
равенство (8.9) равносильно матричному равенству (8.8). Сейчас
мы рассматриваем "однородный вариант" (8.9h) равенства (8.9). Он
будет равносилен однородной с.л.у. (8.8h), и следовательно, факт
линейной зависимости с.в. будет равносилен факту наличия у с.л.у.
(8.8h) ненулевого решения. ¤
Следствие. Всякая с.в. в пространстве R
n
, содержащая более
чем n векторов, является линейно зависимой.
Доказательство. Если количество векторов в данной с.в. k > n,
то число неизвестных в однородной с.л.у. (8.8h) будет больше числа
уравнений. По предложению 6.1, эта с.л.у. будет иметь нетривиаль-
ное решение. Следовательно, с.в. будет линейно зависимой. ¤
9.3. Свойства линейно зависимых (линейно независимых)
с.в. В следующем предложении собраны важнейшие свойства линей-
но зависимых (независимых) систем векторов. Некоторые из упомя-
нутых ранее свойств могут быть выведены иначе, с использованием
этого предложения.
Предложение 9.2. 1. Пусть B — конечная с.в., A — ее подсисте-
ма. Тогда если система A является линейно зависимой, то и система
B является линейно зависимой.
2. С.в. A является линейно зависимой тогда и только тогда, когда
некоторый вектор, входящий в систему A, линейно выражается через
остальные векторы этой системы.
3. Пусть с.в. векторов A линейно независима, а с.в. B получается
из системы A присоединением к ней одного вектора
¯
b. Тогда с.в. B
84         Арифметические линейные пространства               Гл. 2

(линейно независимой) тогда и только тогда, когда однородная с.л.у.

                           A · λ̄ = 0̄                        (8.8h)
                          n×k   k×1   n×1


имеет нетривиальное решение (имеет только тривиальное решение).
  Доказательство. С.в. A будет линейно зависимой, если вектор-
ное равенство
                 λ1 ā1 + λ2 ā2 + ... + λk āk = 0̄     (8.9h)
может быть истинным для некоторых (не всех нулевых) значений
коэффициентов λj (j = 1, 2, ..., k). Если же равенство (8.9h) влечет
обращение в нуль всех λj , то с.в. является линейно независимой.
   При доказательстве предложения 8.2 объяснялось, что векторное
равенство (8.9) равносильно матричному равенству (8.8). Сейчас
мы рассматриваем "однородный вариант" (8.9h) равенства (8.9). Он
будет равносилен однородной с.л.у. (8.8h), и следовательно, факт
линейной зависимости с.в. будет равносилен факту наличия у с.л.у.
(8.8h) ненулевого решения. ¤
  Следствие. Всякая с.в. в пространстве Rn , содержащая более
чем n векторов, является линейно зависимой.
   Доказательство. Если количество векторов в данной с.в. k > n,
то число неизвестных в однородной с.л.у. (8.8h) будет больше числа
уравнений. По предложению 6.1, эта с.л.у. будет иметь нетривиаль-
ное решение. Следовательно, с.в. будет линейно зависимой. ¤

   9.3. Свойства линейно зависимых (линейно независимых)
с.в. В следующем предложении собраны важнейшие свойства линей-
но зависимых (независимых) систем векторов. Некоторые из упомя-
нутых ранее свойств могут быть выведены иначе, с использованием
этого предложения.
   Предложение 9.2. 1. Пусть B — конечная с.в., A — ее подсисте-
ма. Тогда если система A является линейно зависимой, то и система
B является линейно зависимой.
   2. С.в. A является линейно зависимой тогда и только тогда, когда
некоторый вектор, входящий в систему A, линейно выражается через
остальные векторы этой системы.
   3. Пусть с.в. векторов A линейно независима, а с.в. B получается
из системы A присоединением к ней одного вектора b̄. Тогда с.в. B

Страницы