Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 83 стр.

§9   Линейно зависимые (независимые) системы векторов           83

   Определение 9.1. 1. С.в. A называется линейно зависимой, если
существует такая линейная комбинация векторов системы A, значе-
ние которой равно нулю, хотя не все коэффициенты этой линейной
комбинации равны нулю.
   2. В противном случае, т. е. если из равенства нулю значения ли-
нейной комбинации вытекает, что все ее коэффициенты равны нулю,
с.в. называется линейно независимой.
   Замечание 9.1. Данное выше определение удобно дополнить сле-
дующим образом: пустая с.в. считается линейно независимой. Если
вы склонны к логическим упражнениям, то попробуйте найти чисто
логическое обоснование такой условности.
   Свойство с.в. быть линейно зависимой (независимой) не зависит
от порядка векторов в этой системе (ср. с замечанием 8.4).
   Замечание 9.2. Понятие линейно зависимой (линейно независи-
мой) с.в., по-видимому, уже встречалось вам в курсе аналитической
геометрии. Будет оно встречаться и в других математических дис-
циплинах.
   Однако понятие это является в достаточной степени нетривиаль-
ным и обычно вызывает серьезные затруднения у студентов. В ви-
де исключения преподаватели даже рекомендуют прием "зазубрива-
ния" определения 9.1 (в надежде, что после очередного повторения
вслух вдруг прояснится ускользавший от вас ранее смысл этого опре-
деления). В частности, для вас должны стать совершенно очевидны-
ми следующие простейшие свойства и примеры линейно зависимых
(линейно независимых) с.в.
   Любая с.в., содержащая нулевой вектор, линейно зависима. (В
самом деле, линейная комбинация векторов этой системы, в которой
все коэффициенты равны 0, кроме одного, стоящего при нулевом
векторе, имеет значение 0̄.) Столь же легко можно убедиться в том,
что с.в., содержащая повторяющиеся векторы, линейно зависима.
   Система, состоящая из одного вектора, является линейно незави-
симой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой. Система,
состоящая из двух векторов, линейно независима тогда и только то-
гда, когда эти векторы не пропорциональны.
   Более серьезные свойства и примеры будут приведены далее.
  9.2. Критерий линейной зависимости (линейной незави-
симости) с.в.
   Предложение 9.1. Пусть A — конечная с.в. (8.1), A — соответ-
ствующая ей матрица (8.2). Система A является линейно зависимой