Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 8 Системы векторов. Линейные оболочки 81
Предложение 8.2. Вектор
¯
b принадлежит линейной оболочке
hAi системы векторов (8.1) тогда и только тогда, когда совместна
система линейных уравнений
A
n×k
·
¯
λ
k×1
=
¯
b
n×1
, (8.8)
где A — матрица, соответствующая с.в. A,
¯
λ — неизвестный вектор,
принадлежащий пространству R
k
.
Доказательство. В соответствии с определением 8.4, вектор
¯
b
принадлежит hAi тогда и только тогда, когда он представляется в
виде линейной комбинации
¯
b = λ
1
¯a
1
+ λ
2
¯a
2
+ ... + λ
k
¯a
k
, (8.9)
т. е. должны найтись скаляры λ
j
(j = 1, 2, ..., k), превращающие (8.9)
в истинное векторное равенство.
Как только что объяснено, векторному соотношению (8.9) можно
придать вид с.л.у., причем именно с такими размерами матриц и
столбцов, как это указано в формуле (8.8). Вопрос, таким образом,
сводится к выяснению характера этой с.л.у.: будет ли она совместной
или же несовместной. Что и требовалось доказать. ¤
Замечание 8.7. Теперь у вас есть прекрасная возможность "за-
путаться в системах". Вообще слово "система" в математике (и
не только в математике) весьма многозначно. Пока в алгебре нам
встретились два термина, включающих это слово: "система линей-
ных уравнений" и "система векторов". Разумеется, это совершенно
различные, хотя и связанные, понятия. Наши аббревиатуры (с.л.у.
и с.в.), помимо цели сокращения записей, имеют еще одну цель —
облегчить вашему подсознанию разграничение соответствующих по-
нятий.
8.4. Примеры линейных оболочек. Приведем несколько при-
меров "вычисления" линейной оболочки с.в. Каждый из этих при-
меров найдет применения в дальнейшей теории.
Пример 8.1. Рассмотрим с.в. A = [¯a] , состоящую из единствен-
ного вектора ¯a ∈ R
n
. Ясно, что если этот вектор является нулевым,
то и линейная оболочка hAi является нулевым подпространством в
R
n
. В противном случае hAi будет состоять из всех векторов, про-
порциональных вектору ¯a (такое подпространство в R
n
называется
прямой, порожденной вектором ¯a).
§8           Системы векторов. Линейные оболочки                  81

  Предложение 8.2. Вектор b̄ принадлежит линейной оболочке
hAi системы векторов (8.1) тогда и только тогда, когда совместна
система линейных уравнений
                             A · λ̄ = b̄ ,                       (8.8)
                            n×k   k×1      n×1

где A — матрица, соответствующая с.в. A, λ̄ — неизвестный вектор,
принадлежащий пространству Rk .
  Доказательство. В соответствии с определением 8.4, вектор b̄
принадлежит hAi тогда и только тогда, когда он представляется в
виде линейной комбинации
                    b̄ = λ1 ā1 + λ2 ā2 + ... + λk āk ,        (8.9)
т. е. должны найтись скаляры λj (j = 1, 2, ..., k), превращающие (8.9)
в истинное векторное равенство.
    Как только что объяснено, векторному соотношению (8.9) можно
придать вид с.л.у., причем именно с такими размерами матриц и
столбцов, как это указано в формуле (8.8). Вопрос, таким образом,
сводится к выяснению характера этой с.л.у.: будет ли она совместной
или же несовместной. Что и требовалось доказать. ¤
   Замечание 8.7. Теперь у вас есть прекрасная возможность "за-
путаться в системах". Вообще слово "система" в математике (и
не только в математике) весьма многозначно. Пока в алгебре нам
встретились два термина, включающих это слово: "система линей-
ных уравнений" и "система векторов". Разумеется, это совершенно
различные, хотя и связанные, понятия. Наши аббревиатуры (с.л.у.
и с.в.), помимо цели сокращения записей, имеют еще одну цель —
облегчить вашему подсознанию разграничение соответствующих по-
нятий.

  8.4. Примеры линейных оболочек. Приведем несколько при-
меров "вычисления" линейной оболочки с.в. Каждый из этих при-
меров найдет применения в дальнейшей теории.
   Пример 8.1. Рассмотрим с.в. A = [ā] , состоящую из единствен-
ного вектора ā ∈ Rn . Ясно, что если этот вектор является нулевым,
то и линейная оболочка hAi является нулевым подпространством в
Rn . В противном случае hAi будет состоять из всех векторов, про-
порциональных вектору ā (такое подпространство в Rn называется
прямой, порожденной вектором ā).

Страницы