Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 8 Системы векторов. Линейные оболочки 79
Определение 8.5. Если линейное подпространство V 6 R
n
пре-
дставляется как линейная оболочка с.в. A, то говорят, что векторы
этой системы порождают V, а также что с.в. A является порожда-
ющей для подпространства V.
Рекомендуем вам подумать и понять следующие свойства порож-
дающих с.в : 1) всякая система, содержащая порождающую с.в. для
некоторого подпространства, сама является порождающей для это-
го подпространства; 2) из порождающей системы можно выбросить
повторно встречающиеся, а также нулевые векторы, и она при этом
останется порождающей (для того же самого подпространства).
Замечание 8.5. В алгебре используется также несколько иное (от-
личное от данного в определении 8.4) понятие линейной оболочки.
Оно относится не к системам векторов, а к подмножествам, причем
не обязательно конечным, пространства R
n
. Для M ⊆ R
n
линейная
оболочка hMi, по определению, состоит из всевозможных конечных
линейных комбинаций векторов из M. Это будет наименьшее из под-
пространств в R
n
, содержащих M. При таком подходе подмножество
совпадает со своей линейной оболочкой тогда и только тогда, когда
оно само является подпространством, и для любого подмножества
M справедливо равенство hhMii = hMi.
8.3. Критерий принадлежности вектора линейной обо-
лочке системы векторов. Теперь нам необходимо вспомнить из
первой главы различные формы записи систем линейных уравнений.
Прежде всего это развернутая запись (1.2):
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
= b
1
;
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2n
x
n
= b
2
;
............................................................
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ... + a
mn
x
n
= b
m
.
Далее, изучив алгебраические операции над матрицами и векто-
рами, мы получили матричную запись (1.10) этой же самой системы
(здесь мы присвоим ей новый номер):
A
m×n
· ¯x
n×1
=
¯
b
m×1
. (8.5)
Но можно также, пользуясь линейными алгебраическими опера-
циями над векторами, получить еще одну форму записи с.л.у., кото-
§8           Системы векторов. Линейные оболочки                          79

   Определение 8.5. Если линейное подпространство V 6 Rn пре-
дставляется как линейная оболочка с.в. A, то говорят, что векторы
этой системы порождают V, а также что с.в. A является порожда-
ющей для подпространства V.
   Рекомендуем вам подумать и понять следующие свойства порож-
дающих с.в : 1) всякая система, содержащая порождающую с.в. для
некоторого подпространства, сама является порождающей для это-
го подпространства; 2) из порождающей системы можно выбросить
повторно встречающиеся, а также нулевые векторы, и она при этом
останется порождающей (для того же самого подпространства).
   Замечание 8.5. В алгебре используется также несколько иное (от-
личное от данного в определении 8.4) понятие линейной оболочки.
Оно относится не к системам векторов, а к подмножествам, причем
не обязательно конечным, пространства Rn . Для M ⊆ Rn линейная
оболочка hM i, по определению, состоит из всевозможных конечных
линейных комбинаций векторов из M. Это будет наименьшее из под-
пространств в Rn , содержащих M. При таком подходе подмножество
совпадает со своей линейной оболочкой тогда и только тогда, когда
оно само является подпространством, и для любого подмножества
M справедливо равенство hhM ii = hM i.
  8.3. Критерий принадлежности вектора линейной обо-
лочке системы векторов. Теперь нам необходимо вспомнить из
первой главы различные формы записи систем линейных уравнений.
Прежде всего это развернутая запись (1.2):
        
         a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ;
        
          a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ;
         ............................................................
        
          am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm .

   Далее, изучив алгебраические операции над матрицами и векто-
рами, мы получили матричную запись (1.10) этой же самой системы
(здесь мы присвоим ей новый номер):

                              A · x̄ = b̄ .                              (8.5)
                             m×n    n×1    m×1


  Но можно также, пользуясь линейными алгебраическими опера-
циями над векторами, получить еще одну форму записи с.л.у., кото-

Страницы