Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 8 Системы векторов. Линейные оболочки 77
8.2. Линейная оболочка конечной с.в. Линейной комбина-
цией с.в. (8.1) мы будем называть выражение вида
P
k
i=1
λ
i
¯
a
i
, где
λ
i
∈ R (i = 1, ..., k).
Если в этом выражении произвести действия (умножения на ска-
ляры и сложение), то получится вектор
¯
a =
k
X
i=1
λ
i
¯
a
i
,
который называется значением линейной комбинации. (Сравните с
обсуждением понятия линейной комбинации в замечании 2.4.)
Следует иметь в виду, что различные линейные кмбинации (од-
ной и той же с.в.) могут иметь одинаковые значения; простейший
пример: A = [¯a, ¯a]; ¯a 6=
¯
0; 1 · ¯a + (−1) · ¯a = 2 · ¯a + (−2) · ¯a =
¯
0.
Из коммутативного закона для сложения векторов вытекает, что
значение линейной комбинации не зависит от порядка слагаемых,
т. е. от порядка векторов в системе A.
Определение 8.4. Линейной оболочкой конечной с.в. (8.1) назы-
вается подмножество hAi пространства R
n
, состоящее из значений
всевозможных линейных комбинаций векторов этой системы.
Линейную оболочку hAi можно описать одной из следующих фор-
мул:
hAi =
(
k
X
i=1
λ
i
¯a
i
: λ
i
∈ R; i = 1, ..., k
)
; (8.4)
hAi =
(
¯a ∈ R
n
: [ ∃λ
i
∈ R (i = 1, ..., k) ] [¯a =
k
X
i=1
λ
i
¯a
i
]
)
. (8.4a)
Формулу (8.4а) можно словесно выразить следующим образом:
линейная оболочка hAi состоит из всех векторов ¯a ∈ R
n
, предста-
вимых в виде значения какой-либо линейной комбинации векторов,
входящих в с.в. A.
Замечание 8.4. Линейная оболочка (в силу коммутативности сло-
жения) не зависит от порядка векторов в с.в. A, т. е. она не изменится
при произвольной перестановке векторов в этой системе.
Удобно распространить определение линейной оболочки на слу-
чай пустой системы векторов; считается, что оболочка пустой с.в.
состоит из одного нулевого вектора: h∅i = {
¯
0}.
§8                Системы векторов. Линейные оболочки                                     77

   8.2. Линейная оболочка конечной с.в. Линейной Pk комбина-
цией с.в. (8.1) мы будем называть выражение вида i=1 λi āi , где
λi ∈ R (i = 1, ..., k).
   Если в этом выражении произвести действия (умножения на ска-
ляры и сложение), то получится вектор

                                            k
                                            X
                                     ā =         λi āi ,
                                            i=1


который называется значением линейной комбинации. (Сравните с
обсуждением понятия линейной комбинации в замечании 2.4.)
   Следует иметь в виду, что различные линейные кмбинации (од-
ной и той же с.в.) могут иметь одинаковые значения; простейший
пример: A = [ā, ā]; ā 6= 0̄; 1 · ā + (−1) · ā = 2 · ā + (−2) · ā = 0̄.
   Из коммутативного закона для сложения векторов вытекает, что
значение линейной комбинации не зависит от порядка слагаемых,
т. е. от порядка векторов в системе A.
   Определение 8.4. Линейной оболочкой конечной с.в. (8.1) назы-
вается подмножество hAi пространства Rn , состоящее из значений
всевозможных линейных комбинаций векторов этой системы.
   Линейную оболочку hAi можно описать одной из следующих фор-
мул:               ( k                                )
                     X
             hAi =      λi āi : λi ∈ R; i = 1, ..., k ;    (8.4)
                               i=1
             (                                                 k
                                                                                )
                                                               X
     hAi =       ā ∈ Rn : [ ∃λi ∈ R (i = 1, ..., k) ] [ā =         λi āi ]       .   (8.4a)
                                                               i=1


  Формулу (8.4а) можно словесно выразить следующим образом:
линейная оболочка hAi состоит из всех векторов ā ∈ Rn , предста-
вимых в виде значения какой-либо линейной комбинации векторов,
входящих в с.в. A.
   Замечание 8.4. Линейная оболочка (в силу коммутативности сло-
жения) не зависит от порядка векторов в с.в. A, т. е. она не изменится
при произвольной перестановке векторов в этой системе.
   Удобно распространить определение линейной оболочки на слу-
чай пустой системы векторов; считается, что оболочка пустой с.в.
состоит из одного нулевого вектора: h∅i = {0̄}.

Страницы