Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

78 Арифметические линейные пространства Гл. 2
И несколько слов об обозначении линейной оболочки. В нашем
основном учебнике [2] и в данном пособии она обозначается угло-
выми скобками: hAi. Используются, однако, и другие обозначения,
например lin(A).
Далее нам необходимо вспомнить определение линейного подпро-
странства в арифметическом линейном пространстве (см. определе-
ние 3.1): так называлось подмножество пространства R
n
, устойчивое
относительно линейных операций над векторами.
Здесь мы введем специальное обозначение для свойства подмно-
жества V ⊆ R
n
быть линейным подпространством в R
n
. Мы будем
записывать этот факт следующим образом: V 6 R
n
. Не упустите из
внимания то, что хорошо знакомый вам знак числового неравенства
6 будет в дальнейшем нести двойную нагрузку.
Предложение 8.1. 1. Для любой с.в. A ее линейная оболочка
hAi является линейным подпространством пространства R
n
.
2. Это линейное подпространство является наименьшим из под-
пространств в R
n
, содержащих все векторы, входящие в A, т. е. если
для какого-либо линейного подпространства V 6 R
n
справедливо
¯a
i
∈ V (∀i = 1, ..., k), то hAi ⊆ V.
Доказательство. 1. Если
¯
x =
k
X
i=1
λ
i
¯
a
i
; ¯y =
k
X
i=1
µ
i
¯
a
i
; (λ
i
, µ
i
∈ R; i = 1, ..., k)
— два вектора, принадлежащие hAi, то их сумма может быть с по-
мощью законов (i) — (viii) векторной алгебры (см. теорему 2.1) при-
ведена к виду
¯x + ¯y =
k
X
i=1
(λ
i
+ µ
i
)¯a
i
и, следовательно, тоже принадлежит hAi.
Столь же легко убедиться в том, что вместе с вектором ¯x линейная
оболочка содержит все пропорциональные векторы. Таким образом,
доказано, что hAi 6 R
n
.
2. Пусть теперь V 6 R
n
и для любого i = 1, ..., k вектор ¯a
i
∈ V.
Тогда, по определению подпространства, любая линейная комбина-
ция векторов ¯a
i
принадлежит V. А это означает, что hAi содержится
в V. ¤
В связи с только что доказанным предложением введем еще один
термин.
78          Арифметические линейные пространства                                      Гл. 2

  И несколько слов об обозначении линейной оболочки. В нашем
основном учебнике [2] и в данном пособии она обозначается угло-
выми скобками: hAi. Используются, однако, и другие обозначения,
например lin(A).
  Далее нам необходимо вспомнить определение линейного подпро-
странства в арифметическом линейном пространстве (см. определе-
ние 3.1): так называлось подмножество пространства Rn , устойчивое
относительно линейных операций над векторами.
  Здесь мы введем специальное обозначение для свойства подмно-
жества V ⊆ Rn быть линейным подпространством в Rn . Мы будем
записывать этот факт следующим образом: V 6 Rn . Не упустите из
внимания то, что хорошо знакомый вам знак числового неравенства
6 будет в дальнейшем нести двойную нагрузку.
    Предложение 8.1. 1. Для любой с.в. A ее линейная оболочка
hAi является линейным подпространством пространства Rn .
    2. Это линейное подпространство является наименьшим из под-
пространств в Rn , содержащих все векторы, входящие в A, т. е. если
для какого-либо линейного подпространства V 6 Rn справедливо
āi ∈ V (∀i = 1, ..., k), то hAi ⊆ V.
     Доказательство. 1. Если
                  k
                  X                     k
                                        X
           x̄ =         λi āi ; ȳ =         µi āi ; (λi , µi ∈ R; i = 1, ..., k)
                  i=1                   i=1
— два вектора, принадлежащие hAi, то их сумма может быть с по-
мощью законов (i) — (viii) векторной алгебры (см. теорему 2.1) при-
ведена к виду
                                k
                                X
                      x̄ + ȳ =   (λi + µi )āi
                                               i=1
и, следовательно, тоже принадлежит hAi.
   Столь же легко убедиться в том, что вместе с вектором x̄ линейная
оболочка содержит все пропорциональные векторы. Таким образом,
доказано, что hAi 6 Rn .
   2. Пусть теперь V 6 Rn и для любого i = 1, ..., k вектор āi ∈ V.
Тогда, по определению подпространства, любая линейная комбина-
ция векторов āi принадлежит V. А это означает, что hAi содержится
в V. ¤
  В связи с только что доказанным предложением введем еще один
термин.

Страницы