Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

80 Арифметические линейные пространства Гл. 2
рую мы будем называть векторной:
x
1
a
11
a
21
...
a
m1
+ x
2
a
12
a
22
...
a
m2
+ ... + x
n
a
1n
a
2n
...
a
mn
=
b
1
b
2
...
b
m
. (8.6)
Формула (8.6) представляет собой векторное равенство в ариф-
метическом линейном пространстве R
m
; неизвестные из с.л.у. (8.5)
предстают здесь в облике неизвестных коэффициентов линейной ко-
мбинации
x
1
¯a
1
+ x
2
¯a
2
+ ... + x
n
¯a
n
=
¯
b , (8.7)
где символами ¯a
j
(j = 1, 2, ..., n) обозначены столбцы матрицы A.
Замечание 8.6. Снова деликатное замечание "для служебного по-
льзования". Многие учебные курсы по алгебре хранят верность тра-
диции записывать векторы в строчку. Отчасти это мотивируется
экономией бумаги и более легким набором. В нашу эпоху эти аргу-
менты, кажется, потеряли силу: бумага стала такой дорогой, что ее
уже никто не экономит, а новые компьютерные издательские систе-
мы позволяют легко набирать математические тексты любой степени
сложности. (Здесь, прежде всего, следует упомянуть выдающееся
изобретение гения программирования Д. Кнута — математическую
издательскую систему T
E
X, используемую сейчас при верстке всех
математических книг и журналов; применялась она и при подготов-
ке к иданию настоящего пособия.)
Автору этого пособия преимущества использования в линейной
алгебре векторов-столбцов представляются неоспоримыми. Причи-
ну существования этих преимуществ также можно усмотреть в тра-
дициях, причем значительно более глубоких. В мире, ориентиро-
ванном на Европу, тексты пишут в строчку, слева направо, а сами
строки идут сверху вниз. Именно поэтому развернутая запись с.л.у.
(1.10) приводит к равенству (8.7) для векторов-столбцов. (Мож-
но пофантазировать, какой была бы естественная векторная запись
с.л.у., если бы наша письменность была организована иначе, напри-
мер при письме в столбик, сверху вниз, с расположением столбцов
слева направо.)
А теперь мы вернемся к теме настоящего параграфа и зададим-
ся вопросом: как узнать принадлежит ли заданный вектор
¯
b ∈ R
n
линейной оболочке заданной с.в. (8.1)? Ответом служит следующее
80         Арифметические линейные пространства               Гл. 2

рую мы будем называть векторной:
                                              
         a11          a12               a1n      b1
        a         a               a  b 
     x1  21  + x2  22  + ... + xn  2n  =  2  .          (8.6)
          ...          ...               ...     ...
         am1          am2               amn      bm

  Формула (8.6) представляет собой векторное равенство в ариф-
метическом линейном пространстве Rm ; неизвестные из с.л.у. (8.5)
предстают здесь в облике неизвестных коэффициентов линейной ко-
мбинации
                   x1 ā1 + x2 ā2 + ... + xn ān = b̄ ,    (8.7)
где символами āj (j = 1, 2, ..., n) обозначены столбцы матрицы A.
   Замечание 8.6. Снова деликатное замечание "для служебного по-
льзования". Многие учебные курсы по алгебре хранят верность тра-
диции записывать векторы в строчку. Отчасти это мотивируется
экономией бумаги и более легким набором. В нашу эпоху эти аргу-
менты, кажется, потеряли силу: бумага стала такой дорогой, что ее
уже никто не экономит, а новые компьютерные издательские систе-
мы позволяют легко набирать математические тексты любой степени
сложности. (Здесь, прежде всего, следует упомянуть выдающееся
изобретение гения программирования Д. Кнута — математическую
издательскую систему TEX, используемую сейчас при верстке всех
математических книг и журналов; применялась она и при подготов-
ке к иданию настоящего пособия.)
   Автору этого пособия преимущества использования в линейной
алгебре векторов-столбцов представляются неоспоримыми. Причи-
ну существования этих преимуществ также можно усмотреть в тра-
дициях, причем значительно более глубоких. В мире, ориентиро-
ванном на Европу, тексты пишут в строчку, слева направо, а сами
строки идут сверху вниз. Именно поэтому развернутая запись с.л.у.
(1.10) приводит к равенству (8.7) для векторов-столбцов. (Мож-
но пофантазировать, какой была бы естественная векторная запись
с.л.у., если бы наша письменность была организована иначе, напри-
мер при письме в столбик, сверху вниз, с расположением столбцов
слева направо.)
   А теперь мы вернемся к теме настоящего параграфа и зададим-
ся вопросом: как узнать принадлежит ли заданный вектор b̄ ∈ Rn
линейной оболочке заданной с.в. (8.1)? Ответом служит следующее

Страницы