Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

82 Арифметические линейные пространства Гл. 2
Пример 8.2. Система единичных векторов E
n
является порож-
дающей для пространства R
n
. В самом деле, любой вектор ¯x ∈ R
n
можно представить в виде линейной комбинации:
¯x =
x
1
x
2
...
x
n
= x
1
1
0
...
0
+ x
2
0
1
...
0
+ ... + x
n
0
0
...
1
=
n
X
i=1
x
i
¯e
i
.
Перед тем как рассмотреть следующий важный (теоретический)
пример, вспомним формулу (6.3h), представляющую общее решение
однородной системы линейных уравнений (1.10h). (Ниже мы снаб-
дим эту с.л.у. новым номером, согласованным с общей нумерацией
формул настоящего параграфа.]
Пример 8.3. Рассмотрим однородную с.л.у.
A
m×n
· ¯x
n×1
=
¯
0
m×1
. (8.5h)
Пусть количество ступенек в ступенчатом виде матрицы A равня-
ется r, причем главными являются первые r неизвестных. Рассмот-
рим систему векторов
F =
h
¯
f
r+1
,
¯
f
r+2
, ...,
¯
f
n
i
, (8.10)
состоящую из базисных частных решений системы (8.5h).
Согласно теореме 6.1, множество L
0
решений однородной с.л.у.
(8.5h) исчерпывается линейными комбинациями
¯x = x
r+1
¯
f
r+1
+ x
r+2
¯
f
r+2
+ ... + x
n
¯
f
n
, (8.11)
а это означает, что подпространство L
0
решений с.л.у. (8.5h) явля-
ется линейной оболочкой с.в. (8.10).
§
§
§ 9. Линейно зависимые и линейно независимые
системы векторов
9.1. Понятие линейно зависимой (линейно независимой)
с.в. Снова рассмотрим конечную с.в. (8.1) в пространстве R
n
.
82           Арифметические линейные пространства               Гл. 2

  Пример 8.2. Система единичных векторов En является порож-
дающей для пространства Rn . В самом деле, любой вектор x̄ ∈ Rn
можно представить в виде линейной комбинации:
                                      
            x1       1        0              0
                                                  n
           x2    0      1            0 X
     x̄ =   = x1   + x2   + ... + xn   =     xi ēi .
            ...     ...      ...            ...
                                                 i=1
            xn       0        0              1

  Перед тем как рассмотреть следующий важный (теоретический)
пример, вспомним формулу (6.3h), представляющую общее решение
однородной системы линейных уравнений (1.10h). (Ниже мы снаб-
дим эту с.л.у. новым номером, согласованным с общей нумерацией
формул настоящего параграфа.]
     Пример 8.3. Рассмотрим однородную с.л.у.

                             A · x̄ = 0̄ .                      (8.5h)
                            m×n    n×1    m×1

   Пусть количество ступенек в ступенчатом виде матрицы A равня-
ется r, причем главными являются первые r неизвестных. Рассмот-
рим систему векторов
                         h                    i
                           ¯     ¯          ¯
                     F = fr+1 , fr+2 , ..., fn ,           (8.10)

состоящую из базисных частных решений системы (8.5h).
   Согласно теореме 6.1, множество L0 решений однородной с.л.у.
(8.5h) исчерпывается линейными комбинациями

                x̄ = xr+1 f¯r+1 + xr+2 f¯r+2 + ... + xn f¯n ,   (8.11)

а это означает, что подпространство L0 решений с.л.у. (8.5h) явля-
ется линейной оболочкой с.в. (8.10).



 § 9. Линейно зависимые и линейно независимые
                       системы векторов
   9.1. Понятие линейно зависимой (линейно независимой)
с.в. Снова рассмотрим конечную с.в. (8.1) в пространстве Rn .

Страницы