Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 9 Линейно зависимые (независимые) системы векторов 85
будет линейно зависимой в том и только том случае, когда вектор
¯
b
принадлежит линейной оболочке hAi .
Доказательство. 1. Свойство с.в. быть линейно зависимой (ли-
нейно независимой) не зависит от порядка векторов в этой системе
(см. замечание 9.1). Поэтому можно считать, что с.в. B занумерова-
на следующим образом:
B = [ ¯a
1
, ¯a
2
, ..., ¯a
k
, ¯a
k+1
, ..., ¯a
l
] ,
где первые k векторов составляют с.в. A.
Если система A линейно зависима, т. е. найдутся скаляры λ
i
(i =
1, ..., k), не все равные нулю и такие, что
P
k
i=1
λ
i
¯a
i
=
¯
0, то, полагая
λ
i
= 0 для i = k + 1, ..., l , мы получим
P
l
i=1
λ
i
¯a
i
=
¯
0, что (в силу
наличия ненулевых коэффициентов в последней линейной комбина-
ции) свидетельствует о линейной зависимости с.в. B.
Добавим, что доказанное выше утверждение мы будем использо-
вать еще и в такой равносильной форме: всякая подсистема линейно
независимой с.в. является линейно независимой.
2. Если с.в. A, заданная формулой (8.1), линейно зависима, то для
некоторого набора коэффициентов λ
i
(i = 1, ..., k), среди которых
имеются ненулевые, будет выполняться векторное равенство (8.9h).
Снова, пользуясь несущественностью порядка векторов, можно счи-
тать, что первый коэффициент λ
1
6= 0. Тогда первый вектор ¯a
1
мож-
но линейно выразить через остальные:
¯a
1
= −
λ
2
λ
1
¯a
2
− · · · −
λ
k
λ
1
¯a
k
.
Обратно, если какой-то (можно считать, что — первый) вектор
системы A линейно выражается через остальные:
¯a
1
= µ
2
¯a
2
+ · · · + µ
k
¯a
k
,
то
1 · ¯a
1
+ (−µ
2
) · ¯a
2
+ · · · + (−µ
k
) · ¯a
k
=
¯
0,
что (в силу присутствия ненулевого коэффициента в последней ли-
нейной комбинации) свидетельствует о линейной зависимости с.в. A.
3. Пусть с.в. (8.1) линейно независима, а после добавления к ней
вектора
¯
b получается линейно зависимая с.в. B = [A,
¯
b]. Это означает,
§9    Линейно зависимые (независимые) системы векторов                   85

будет линейно зависимой в том и только том случае, когда вектор b̄
принадлежит линейной оболочке hAi .
   Доказательство. 1. Свойство с.в. быть линейно зависимой (ли-
нейно независимой) не зависит от порядка векторов в этой системе
(см. замечание 9.1). Поэтому можно считать, что с.в. B занумерова-
на следующим образом:

                     B = [ ā1 , ā2 , ..., āk , āk+1 , ..., āl ] ,

где первые k векторов составляют с.в. A.
    Если система A линейно зависима, т. е. найдутся скаляры λi (i =
                                           Pk
1, ..., k), не все равные нулю и такие, что i=1 λi āi = 0̄, то, полагая
                                           Pl
λi = 0 для i = k + 1, ..., l , мы получим i=1 λi āi = 0̄, что (в силу
наличия ненулевых коэффициентов в последней линейной комбина-
ции) свидетельствует о линейной зависимости с.в. B.
    Добавим, что доказанное выше утверждение мы будем использо-
вать еще и в такой равносильной форме: всякая подсистема линейно
независимой с.в. является линейно независимой.
    2. Если с.в. A, заданная формулой (8.1), линейно зависима, то для
некоторого набора коэффициентов λi (i = 1, ..., k), среди которых
имеются ненулевые, будет выполняться векторное равенство (8.9h).
Снова, пользуясь несущественностью порядка векторов, можно счи-
тать, что первый коэффициент λ1 6= 0. Тогда первый вектор ā1 мож-
но линейно выразить через остальные:

                                    λ2               λk
                        ā1 = −        ā2 − · · · −    āk .
                                    λ1               λ1

  Обратно, если какой-то (можно считать, что — первый) вектор
системы A линейно выражается через остальные:

                          ā1 = µ2 ā2 + · · · + µk āk ,

то
               1 · ā1 + (−µ2 ) · ā2 + · · · + (−µk ) · āk = 0̄,
что (в силу присутствия ненулевого коэффициента в последней ли-
нейной комбинации) свидетельствует о линейной зависимости с.в. A.
  3. Пусть с.в. (8.1) линейно независима, а после добавления к ней
вектора b̄ получается линейно зависимая с.в. B = [A, b̄]. Это означает,

Страницы