Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

88 Арифметические линейные пространства Гл. 2
Пример 10.3. Рассмотрим однородную с.л.у. (8.5h). Обозначим
(как уже делалось в первой главе) множество решений этой системы
символом L
0
. В предложении 3.2 было доказано, что L
0
является ли-
нейным подпространством в пространстве R
n
. Применяя результаты
примеров 8.3 и 9.2, мы можем утверждать, что с.в. F [см. формулу
(8.10)], составленная из базисных решений с.л.у. (8.5h), является ба-
зисом подпространства L
0
. (Теперь мы можем считать оправданным
сам термин "базисное решение".)
10.2. Свойство единственности для разложения по ба-
зису. Если с.в. A порождает подпространство V 6 R
n
, то любой
вектор
¯
b ∈ V представляется в виде линейной комбинации векторов
системы A [см. формулу (8.9)]. Коэффициенты разложения (8.9)
определены, вообще говоря, неоднозначно. Однозначность опреде-
ления этих коэффициентов имеет место в том и только том случае,
когда с.в. является базисом подпространства V. Точнее, справедливо
следующее
Предложение 10.1. С.в. A, порождающая линейное подпрост-
ранство V, является базисом этого подпространства тогда и только
тогда, когда для любого вектора
¯
b ∈ V коэффициенты λ
i
(i = 1, ..., k)
разложения
¯
b =
P
k
i=1
λ
i
¯a
i
определены однозначно.
Доказательство. 1. Пусть с.в. A является базисом подпростран-
ства V. Возьмем любой вектор
¯
b ∈ V. Допустим, имеются два разло-
жения этого вектора по базису A:
¯
b =
k
X
i=1
λ
i
¯a
i
=
k
X
i=1
µ
i
¯a
i
; λ
i
, µ
i
∈ R; i = 1, ..., k.
Тогда, пользуясь законами алгебры векторов, мы получим равен-
ство
k
X
i=1
(λ
i
− µ
i
)¯a
i
=
¯
0,
из которого, в силу линейной независимости с.в. A, вытекает, что
λ
i
− µ
i
= 0 для любого номера i, т. е. два разложения совпадают.
2. Обратное утверждение мы докажем даже в более сильной фо-
рме: если единственность разложения по порождающей с.в. A имеет
место для некоторого вектора ¯a ∈ V, то эта с.в. является базисом V
88         Арифметические линейные пространства                                  Гл. 2

   Пример 10.3. Рассмотрим однородную с.л.у. (8.5h). Обозначим
(как уже делалось в первой главе) множество решений этой системы
символом L0 . В предложении 3.2 было доказано, что L0 является ли-
нейным подпространством в пространстве Rn . Применяя результаты
примеров 8.3 и 9.2, мы можем утверждать, что с.в. F [см. формулу
(8.10)], составленная из базисных решений с.л.у. (8.5h), является ба-
зисом подпространства L0 . (Теперь мы можем считать оправданным
сам термин "базисное решение".)


  10.2. Свойство единственности для разложения по ба-
зису. Если с.в. A порождает подпространство V 6 Rn , то любой
вектор b̄ ∈ V представляется в виде линейной комбинации векторов
системы A [см. формулу (8.9)]. Коэффициенты разложения (8.9)
определены, вообще говоря, неоднозначно. Однозначность опреде-
ления этих коэффициентов имеет место в том и только том случае,
когда с.в. является базисом подпространства V. Точнее, справедливо
следующее
  Предложение 10.1. С.в. A, порождающая линейное подпрост-
ранство V, является базисом этого подпространства тогда и только
тогда, когда для любого вектора b̄ ∈ V коэффициенты λi (i = 1, ..., k)
                Pk
разложения b̄ = i=1 λi āi определены однозначно.
   Доказательство. 1. Пусть с.в. A является базисом подпростран-
ства V. Возьмем любой вектор b̄ ∈ V. Допустим, имеются два разло-
жения этого вектора по базису A:

                   k
                   X                k
                                    X
            b̄ =         λi āi =         µi āi ; λi , µi ∈ R; i = 1, ..., k.
                   i=1              i=1


   Тогда, пользуясь законами алгебры векторов, мы получим равен-
ство
                         k
                         X
                           (λi − µi )āi = 0̄,
                                i=1

из которого, в силу линейной независимости с.в. A, вытекает, что
λi − µi = 0 для любого номера i, т. е. два разложения совпадают.
   2. Обратное утверждение мы докажем даже в более сильной фо-
рме: если единственность разложения по порождающей с.в. A имеет
место для некоторого вектора ā ∈ V, то эта с.в. является базисом V

Страницы