Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 90 стр.

90          Арифметические линейные пространства                        Гл. 2

На каждом шаге последующего процесса у нас будет получаться ли-
нейно независимая с.в. B1 , B2 , ... , и мы остановим этот процесс тогда,
когда сможем утверждать, что очередная с.в. является базисом в V.
  Пусть уже построена линейно независимая система
                                    h         i
                           Bk = b̄1 , ..., b̄k ,

составленная из векторов подпространства V. Имеются две логиче-
ские возможности:
   — либо для любого вектора b̄ ∈ V система [b̄1 , ..., b̄k , b̄] линейно
зависима;
   — либо существует вектор b̄ ∈ V такой, что с.в. [b̄1 , ..., b̄k , b̄] линей-
но независима.
   В первом случае п. 3 предложения 9.2 позволит нам утверждать,
что любой вектор b̄ ∈ V принадлежит линейной оболочке hBk i, т. е.
эта оболочка совпадает с подпространством V, т. е. система Bk явля-
ется порождающей для V и, следовательно,— базисом V.
   Во втором случае мы переобозначим "вновь обнаруженный" век-
тор (b̄ = b̄k+1 ) и получим более широкую линейно независимую с.в.
                                h                     i
                         Bk+1 = b̄1 , ..., b̄k , b̄k+1 ;

процесс продолжается.
   Выстраиваемая последовательность линейно независимых конеч-
ных систем векторов является строго расширяющейся; она не мо-
жет "продолжаться до бесконечности", поскольку, в силу следствия
из предложения 9.1, всякая линейно независимая с.в. в простран-
стве Rn содержит не более n векторов. Значит, на некотором шаге
(с номером r 6 n) обязательно осуществится первая возможность
и полученная с.в. Br окажется базисом подпространства V. Первое
утверждение теоремы доказано.
   2. Пусть теперь данное (ненулевое) подпространство V 6 Rn
представлено в виде V = hAi , где A = [ā1 , ..., ās ] — конечная с.в.
Модифицируем индуктивный процесс построения базиса следующим
образом: на каждом шаге будем выбирать векторы из числа по-
рождающих, т. е. из системы A. Точно так же, как и в предыду-
щем пункте, этот процесс оборвется на некотором шаге [с номером
r 6 min(n, s) ]. В момент "останова" будет получена линейно незави-
симая с.в.                      h             i
                           Br = b̄1 , ..., b̄r ,                 (10.1)