Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 93 стр.

§ 11           Равномощность базисов. Размерность                 93

 § 11. Равномощность базисов в подпространстве.
       Понятие размерности подпространства.
            Ступенчатый ранг матрицы

   11.1. Теорема о равномощности всех базисов в подпро-
странстве. Теперь пришла очередь доказать второй, после теоремы
существования базиса, фундаментальный факт линейной алгебры —
теорему о том, что все базисы в одном и том же линейном подпро-
странстве V 6 Rn имеют одинаковое количество векторов.
   Напомним из курса "Введение в математику", что два множества
называются равномощными, если между ними существует взаимно
однозначное (биективное) соответствие. Гораздо сложнее определя-
ется понятие мощности множества. Эти вопросы вы будете изучать
позже, в курсе математической логики. Но для конечных множеств
понятие мощности вполне элементарно: мощностью конечного мно-
жества называется количество элементов в этом множестве.
   Для списков (которые отличаются от конечных множеств наличи-
ем порядка и, возможно, повторяющихся элементов) вместо понятия
мощности можно рассматривать понятие длины списка. Но посколь-
ку базисы не могут содержать повторяющихся векторов и остаются
базисами после произвольной перестановки своих элементов, то (во-
обще говоря, не очень корректный) термин "мощность базиса" имеет
право на существование. И мы будем его применять, что позволит
ниже весьма лаконично сформулировать основной результат пара-
графа — теорему 11.1.
   Но сначала докажем следующее вспомогательное

  Предложение 11.1. Пусть V — ненулевое линейное подпрост-
ранство в Rn ;
                           A = [ā1 , ..., ās ]                (11.1)

и                             h               i
                           B = b̄1 , ..., b̄r                   (11.2)

— две системы векторов в подпространстве V, причем система B яв-
ляется базисом V, а система A линейно независима. Тогда s 6 r .

  Доказательство. Достаточно доказать, что если справедливо
противоположное неравенство s > r, то с.в. (11.1) является линей-
но зависимой, т. е. найдутся скаляры λj (j = 1, ..., s), не все равные