Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 95 стр.

§ 11          Равномощность базисов. Размерность                95

где обозначено:
                                     s
                                     X
                              µi =         aij λj .          (11.6)
                                     j=1

  После этих преобразований равенство (11.5) приобретет равно-
сильный вид
                         Xr
                            µi b̄i = 0̄ .                (11.7)
                               i=1

  Но с.в. (11.2) является базисом и, следовательно, линейно незави-
сима. Поэтому равенство (11.7) равносильно утверждению

                       ( ∀i = 1, ..., r ) [ µi = 0 ] .       (11.8)

   С учетом (11.6) утверждение (11.8) равносильно однородной си-
стеме линейных уравнений [здесь она получилась в компактной за-
писи, см. формулу (1.2a)]:
                      s
                      X
                            aij λj = 0; i = 1, ..., r .      (11.9)
                      j=1


   Количество уравнений в этой системе равно r, неизвестными в
ней служат λj , их количество равно s. В соответствии со сделан-
ным в начале доказательства предположением, получаем, что коли-
чество неизвестных больше количества уравнений, и следовательно,
по предложению 6.1, однородная с.л.у. (11.9) имеет ненулевое реше-
ние.
   С другой стороны, эта с.л.у. равносильна равенству (11.3), кото-
рое, таким образом, окажется истинным для некоторого набора λj
(j = 1, ..., s), не все элементы которого нулевые, что и доказывает
линейную зависимость с.в. (11.1). ¤
  Теперь сформулируем и докажем теорему о равномощности всех
базисов в одном и том же подпространстве.
  Теорема 11.1. Любые два базиса в линейном подпространстве
V 6 Rn равномощны.
   Доказательство.    После доказательства предложения 11.1 дока-
зательство теоремы    становится совершенно очевидным. Предпо-
ложим, что (11.1) и   (11.2) являются базисами подпространства V.
Тогда, в частности,   обе эти с.в. линейно независимы. Применяя