Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 97 стр.

§ 11          Равномощность базисов. Размерность               97

разобрались с упражнением, сформулированным в конце упомянуто-
го замечания, то вам будет понятно, что эта же величина доставляет
минимум для мощностей порождающих с.в. в подпространстве V.
   11.3. Размерность подпространства решений однородной
с.л.у. В этом пункте мы подведем итог серии примеров, посвящен-
ных подпространству L0 решений однородной с.л.у. A · x̄ = 0̄.
   Предложение 11.3. Рассмотрим однородную с.л.у. (8.5h) с мат-
рицей A размера m × n и подпространство L0 6 Rn решений этой си-
стемы. Пусть r — количество ступенек в ступенчатом виде матрицы
A. Тогда размерность подпространства L0 может быть определена
по формуле
                         dim(L0 ) = n − r.                (11.10)


   Доказательство следует из утверждения примера 10.3. ¤
  Замечание 11.3. В линейной алгебре используется еще одна чи-
словая характеристика линейного подпространства — его коразмер-
ность. Коразмерностью подпространства V 6 Rn называется число

                     codim(V ) = n − dim(V ).

  Утверждение предложения 11.3 с помощью понятия коразмерно-
сти выражается следующим образом: codim(L0 ) = r.
   11.4. Ступенчатый ранг матрицы. В первой главе мы неод-
нократно обещали доказать инвариантность количества ступенек
в ступенчатом виде матрицы (т. е. независимость этой величины от
способа приведения матрицы к ступенчатому виду; см. замечание
5.2). Теперь мы можем выполнить это обещание. А именно: спра-
ведливо следующее
   Предложение 11.4. Пусть A — матрица размера m × n . При
любом способе приведения матрицы A к ступенчатому виду (с помо-
щью элементарных преобразований над строками матрицы) количе-
ство ступенек r получается одним и тем же: оно равняется разности
n − dim(L0 ) числа столбцов n матрицы A и размерности подпро-
странства L0 решений однородной с.л.у. A · x̄ = 0̄.
  Доказательство. Данное предложение является, очевидно, лишь
переформулировкой предыдущего. Подчеркнем только, что величи-
на dim(L0 ) определена по матрице A абсолютно инвариантно (не