Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Столбцовый и строчный ранги матрицы 99
В пункте 5.1 определялись элементарные преобразования над
строками и столбцами матрицы (I — III типов). Лишь слегка сме-
нив терминологию, мы можем говорить об элементарных преобразо-
ваниях над системами векторов, понимая под этим элементарные
преобразования над столбцами соответствующих матриц.
Предложение 12.1. Элементарные преобразования над с.в. не
изменяют линейную оболочку этой ситемы и, следовательно, не из-
меняют ее ранг.
Доказательство. Преобразования типа I (перестановка двух ве-
кторов в системе) не отражаются на линейной оболочке в силу за-
мечания 8.4.
Рассмотрим преобразование типа II, при котором все векторы си-
стемы (8.1) остаются неизменными, кроме ¯a
i
, который заменяется
на ¯a
0
i
= ¯a
i
+ c¯a
j
(i, j = 1, ..., k; i 6= j; c ∈ R). Рассмотрим новую с.в.
A
0
= [¯a
1
, ..., ¯a
0
i
, ..., ¯a
k
]
и ее линейную оболочку hA
0
i.
Поскольку все векторы с.в. A
0
принадлежат hAi, то и всякий век-
тор, принадлежащий hA
0
i, принадлежит hAi. (Почему? Похожее
рассуждение уже было.) Следовательно, hA
0
i ⊆ hAi.
Обратимость элементарных преобразований приводит к противо-
положному включению. Значит, hA
0
i = hAi.
Для преобразований типа III (умножение одного из векторов на
ненулевое число) доказательство совершенно аналогично. ¤
12.2. Столбцовый и строчный ранги матрицы. В предыду-
щем пункте мы начинали с рассмотрения системы векторов в про-
странстве R
n
, затем эти векторы записывались в матрицу. В данном
пункте мы начнем с произвольной (m × n)-матрицы A и сопоставим
ей две системы векторов в двух различных арифметических линей-
ных пространствах.
Первая система будет составлена из столбцов данной матрицы:
A
стб
= [¯a
1
, ¯a
2
, ..., ¯a
n
] ; (12.2)
элементы этой с.в. принадлежат арифметическому линейному прос-
транству векторов-столбцов R
m
.
§ 12           Столбцовый и строчный ранги матрицы                       99

  В пункте 5.1 определялись элементарные преобразования над
строками и столбцами матрицы (I — III типов). Лишь слегка сме-
нив терминологию, мы можем говорить об элементарных преобразо-
ваниях над системами векторов, понимая под этим элементарные
преобразования над столбцами соответствующих матриц.
  Предложение 12.1. Элементарные преобразования над с.в. не
изменяют линейную оболочку этой ситемы и, следовательно, не из-
меняют ее ранг.
   Доказательство. Преобразования типа I (перестановка двух ве-
кторов в системе) не отражаются на линейной оболочке в силу за-
мечания 8.4.
   Рассмотрим преобразование типа II, при котором все векторы си-
стемы (8.1) остаются неизменными, кроме āi , который заменяется
на ā0i = āi + cāj (i, j = 1, ..., k; i 6= j; c ∈ R). Рассмотрим новую с.в.

                           A0 = [ā1 , ..., ā0i , ..., āk ]

и ее линейную оболочку hA0 i.
   Поскольку все векторы с.в. A0 принадлежат hAi, то и всякий век-
тор, принадлежащий hA0 i, принадлежит hAi. (Почему? Похожее
рассуждение уже было.) Следовательно, hA0 i ⊆ hAi.
   Обратимость элементарных преобразований приводит к противо-
положному включению. Значит, hA0 i = hAi.
   Для преобразований типа III (умножение одного из векторов на
ненулевое число) доказательство совершенно аналогично. ¤


   12.2. Столбцовый и строчный ранги матрицы. В предыду-
щем пункте мы начинали с рассмотрения системы векторов в про-
странстве Rn , затем эти векторы записывались в матрицу. В данном
пункте мы начнем с произвольной (m × n)-матрицы A и сопоставим
ей две системы векторов в двух различных арифметических линей-
ных пространствах.
   Первая система будет составлена из столбцов данной матрицы:

                          Aстб = [ā1 , ā2 , ..., ān ] ;            (12.2)

элементы этой с.в. принадлежат арифметическому линейному прос-
транству векторов-столбцов Rm .

Страницы