Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Столбцовый и строчный ранги матрицы 101
2. При элементарных преобразованиях над строками матрицы ли-
нейно зависимые (линейно независимые) столбцы остаются линейно
зависимыми (линейно независимыми).
Доказательство. 1. Нам надо доказать, что если какой-либо сто-
лбец матрицы A линейно выражается через несколько каких-то дру-
гих ее столбцов, то это линейное соотношение (с теми же скалярны-
ми коэффициентами) сохранится и после применения элементарных
преобразований над строками для соответствующих столбцов преоб-
разованной матрицы A
0
.
Пусть, скажем, столбец ¯a
j
с номером j ∈ {k + 1, ..., n} выражается
через первые k столбцов (хотя в принципе номера столбцов могут
идти не подряд и не по порядку):
¯a
j
= λ
1
¯a
1
+ · · · + λ
k
¯a
k
. (12.6)
Соотношение (12.6) означает, что вектор
¯
λ ∈ R
k
, составленный из
коэффициентов соотношения (12.6), является решением с.л.у.
A
k
m×k
· ¯µ
k×1
= ¯a
j
m×1
, (12.7)
где A
k
= (¯a
1
|...|
¯
a
k
) — подматрица данной матрицы A [ т. е. при под-
становке в (12.7) вектора
¯
λ вместо неизвестного вектора ¯µ получит-
ся истинное равенство; вспомните векторную форму записи с.л.у.
из § 8 ].
Расширенной матрицей для с.л.у. (12.7) будет служить подматри-
ца (A
k
| ¯a
j
) матрицы A. Элементарные преобразования над строками
A будут порождать элементарные преобразования над строками этой
подматрицы.
Им, в свою очередь, будут соответствовать элементарные преоб-
разования над уравнениями системы (12.7). С помощью этих преоб-
разований с.л.у. (12.7) будет сведена к равносильной с.л.у.
A
0
k
m×k
· ¯µ
k×1
= ¯a
0
j
m×1
. (12.8)
А значит, вектор
¯
λ будет удовлетворять и этой системе, и следо-
вательно, получится соотношение
¯a
0
j
= λ
1
¯a
0
1
+ · · · + λ
k
¯a
0
k
§ 12         Столбцовый и строчный ранги матрицы                   101

   2. При элементарных преобразованиях над строками матрицы ли-
нейно зависимые (линейно независимые) столбцы остаются линейно
зависимыми (линейно независимыми).
  Доказательство. 1. Нам надо доказать, что если какой-либо сто-
лбец матрицы A линейно выражается через несколько каких-то дру-
гих ее столбцов, то это линейное соотношение (с теми же скалярны-
ми коэффициентами) сохранится и после применения элементарных
преобразований над строками для соответствующих столбцов преоб-
разованной матрицы A0 .
  Пусть, скажем, столбец āj с номером j ∈ {k + 1, ..., n} выражается
через первые k столбцов (хотя в принципе номера столбцов могут
идти не подряд и не по порядку):

                        āj = λ1 ā1 + · · · + λk āk .           (12.6)

  Соотношение (12.6) означает, что вектор λ̄ ∈ Rk , составленный из
коэффициентов соотношения (12.6), является решением с.л.у.

                            Ak    · µ̄ = āj ,                    (12.7)
                            m×k     k×1      m×1


где Ak = (ā1 |...| āk ) — подматрица данной матрицы A [ т. е. при под-
становке в (12.7) вектора λ̄ вместо неизвестного вектора µ̄ получит-
ся истинное равенство; вспомните векторную форму записи с.л.у.
из § 8 ].
   Расширенной матрицей для с.л.у. (12.7) будет служить подматри-
ца (Ak | āj ) матрицы A. Элементарные преобразования над строками
A будут порождать элементарные преобразования над строками этой
подматрицы.
   Им, в свою очередь, будут соответствовать элементарные преоб-
разования над уравнениями системы (12.7). С помощью этих преоб-
разований с.л.у. (12.7) будет сведена к равносильной с.л.у.

                             A0k · µ̄ = ā0j .                    (12.8)
                            m×k     k×1      m×1


  А значит, вектор λ̄ будет удовлетворять и этой системе, и следо-
вательно, получится соотношение

                        ā0j = λ1 ā01 + · · · + λk ā0k

Страницы