Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Столбцовый и строчный ранги матрицы 103
Теорема 12.1 (первая теорема о ранге матрицы). Столбцовый
и строчный ранги матрицы совпадают между собой и совпадают со
ступенчатым рангом.
Доказательство. Пользуясь теоремой 5.1, приведем данную ма-
трицу A к скелетному виду
ˆ
A. Для этого придется использовать эле-
ментарные преобразования над строками и над столбцами матрицы,
которые, как доказано в предложении 12.3, сохраняют и столбцовый,
и строчный ранги. Поэтому для доказательства равенства столб-
цового и строчного рангов для матрицы A достаточно доказать их
совпадение для матрицы
ˆ
A.
Матрица
ˆ
A имеет в начале главной диагонали r единиц (где r —
количество ступенек в ступенчатом виде матрицы A); остальные эле-
менты матрицы
ˆ
A равны нулю. Таким образом, система векторов-
столбцов для этой матрицы состоит из единичных векторов ¯e
1
, ..., ¯e
r
пространства R
m
и нулевых векторов этого пространства в количе-
стве n − r штук. Поэтому столбцовый ранг матрицы
ˆ
A равен r. Ана-
логично система векторов-строк матрицы
ˆ
A содержит единичные
векторы-строки (¯e
1
)
t
, ..., (¯e
r
)
t
пространства
∗
R
n
и нулевые векторы-
строки этого пространства в количестве m−r штук. Следовательно,
строчный ранг матрицы
ˆ
A также равен r. ¤
12.5. Ранг матрицы и исследование с.л.у. (теорема Кроне-
кера — Капелли). Совпадение трех рангов, введенных в опреде-
лениях 11.1 и 12.2, позволяет опускать уточняющий эпитет (ступен-
чатый, столбцовый, строчный) при упоминании ранга и говорить
просто о ранге матрицы rank(A). Новая терминология приводит к
более лаконичным переформулировкам основных результатов, от-
носящихся к системам линейных уравнений. В частности, простой
заменой выражений типа "количество ступенек в ступенчатом виде
матрицы" выражением "ранг матрицы" мы можем вывести из тео-
ремы 6.1 следующую знаменитую теорему.
Теорема 12.2 (теорема Кронекера — Капелли). Рассмотрим си-
стему линейных уравнений (8.5) и ее расширенную матрицу B:
A
m×n
· ¯x
n×1
=
¯
b
m×1
; B
m×(n+1)
= ( A
m×n
|
¯
b
m×1
) .
C.л.у. является совместной тогда и только тогда, когда
rank(A) = rank(B), (12.9)
§ 12         Столбцовый и строчный ранги матрицы                 103

   Теорема 12.1 (первая теорема о ранге матрицы). Столбцовый
и строчный ранги матрицы совпадают между собой и совпадают со
ступенчатым рангом.
   Доказательство. Пользуясь теоремой 5.1, приведем данную ма-
трицу A к скелетному виду Â. Для этого придется использовать эле-
ментарные преобразования над строками и над столбцами матрицы,
которые, как доказано в предложении 12.3, сохраняют и столбцовый,
и строчный ранги. Поэтому для доказательства равенства столб-
цового и строчного рангов для матрицы A достаточно доказать их
совпадение для матрицы Â.
   Матрица Â имеет в начале главной диагонали r единиц (где r —
количество ступенек в ступенчатом виде матрицы A); остальные эле-
менты матрицы Â равны нулю. Таким образом, система векторов-
столбцов для этой матрицы состоит из единичных векторов ē1 , ..., ēr
пространства Rm и нулевых векторов этого пространства в количе-
стве n − r штук. Поэтому столбцовый ранг матрицы Â равен r. Ана-
логично система векторов-строк матрицы Â содержит единичные
                                               ∗
векторы-строки (ē ) , ..., (ē ) пространства Rn и нулевые векторы-
                   1 t     r t

строки этого пространства в количестве m−r штук. Следовательно,
строчный ранг матрицы Â также равен r. ¤

  12.5. Ранг матрицы и исследование с.л.у. (теорема Кроне-
кера — Капелли). Совпадение трех рангов, введенных в опреде-
лениях 11.1 и 12.2, позволяет опускать уточняющий эпитет (ступен-
чатый, столбцовый, строчный) при упоминании ранга и говорить
просто о ранге матрицы rank(A). Новая терминология приводит к
более лаконичным переформулировкам основных результатов, от-
носящихся к системам линейных уравнений. В частности, простой
заменой выражений типа "количество ступенек в ступенчатом виде
матрицы" выражением "ранг матрицы" мы можем вывести из тео-
ремы 6.1 следующую знаменитую теорему.
   Теорема 12.2 (теорема Кронекера — Капелли). Рассмотрим си-
стему линейных уравнений (8.5) и ее расширенную матрицу B:

                A · x̄ = b̄ ;      B       = ( A | b̄ ) .
              m×n   n×1    m×1   m×(n+1)      m×n m×1

   C.л.у. является совместной тогда и только тогда, когда

                          rank(A) = rank(B),                    (12.9)

Страницы