Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 104 стр.

104        Арифметические линейные пространства             Гл. 2

и является определенной тогда и только тогда, когда оба этих ранга
совпадают с количеством неизвестных n.
  Доказательство. Внимательно просмотрите формулировку тео-
ремы 6.1. Подробности о структуре решений с.л.у. опустите. ¤
   Замечание 12.2. Практически во всех учебниках алгебры сначала
изучается понятие ранга матрицы (для чего предварительно стро-
ится теория определителей), а затем оно применяется к системам
линейных уравнений. При таком подходе теорема Кронекера — Ка-
пелли является содержательным и ключевым результатом.
   При нашем подходе с.л.у. изучаются сразу с использованием од-
ного единственного приема — метода Гаусса (и его модификаций).
Само понятие ранга вводится на основе уже построенной теории
с.л.у. Поэтому "знаменитая теорема" выглядит некоторой тавтоло-
гией. Метод Гаусса рекомендует: "Хотите узнать, имеет ли систе-
ма решения, — решайте!" (Попутно вычислятся все ранги.) Если
же есть желание вычислить ранги с самого начала, то (при реали-
зуемом здесь подходе) опять-таки придется приводить матрицы к
ступенчатому виду, что сравнимо по трудности с полным анализом
системы.
   Таким образом, мы оставляем пока за теоремой Кронекера — Ка-
пелли лишь "оформительскую" роль. Однако в дальнейшем, после
развития теории определителей и изучения четвертого подхода к по-
нятию ранга, эта теорема должна обрести независимый интерес и
значение.
   Замечание 12.3. Еще одним часто цитируемым результатом яв-
ляется предложение 6.1 — критерий существования нетривиального
решения у однородной с.л.у. A · x̄ = 0̄. С помощью понятия ран-
га матрицы этот критерий также можно сформулировать очень ла-
конично: однородная с.л.у. имеет нетривиальное решение тогда и
только тогда, когда ранг матрицы этой системы меньше количества
неизвестных.



        § 13. Алгоритмы построения базисов
        и вычисления размерностей и рангов

  13.1. Два способа задания линейных подпространств в
пространстве Rn . Нами уже изучены два типовых приема задания