Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 105 стр.

§ 13             Алгоритмы построения базисов                   105

линейных подпространств в арифметическом линейном пространст-
ве Rn . Оба они связаны с матрицами. И первый из них был рассмот-
рен в § 3 (см. предложение 3.2). Произвольной (m × n)-матрице A
можно сопоставить линейное подпространство решений однородной
с.л.у. A · x̄ = 0̄. В § 3 (и далее) мы обозначали это подпространство
символом L0 , теперь мы несколько усложним и уточним обозначе-
ние: будем писать

                     L0A = {x̄ ∈ Rn : A · x̄ = 0̄},            (13.1)

явно указывая матрицу, по которой строится подпространство реше-
ний.
   Второй способ мы начали изучать в § 8 (см. предложение 8.1):
каждой системе векторов A в пространстве Rn (в частности, систе-
ме A = Aстб , составленной из векторов-столбцов матрицы A; см.
п. 12.2) сопоставляется линейная оболочка hAi, являющаяся линей-
ным подпространством в Rm . Введем обозначение для этого подпро-
странства:
                           RA = hAстб i.                   (13.2)
  Определение 13.1. Пусть A — матрица размера m × n. Будем
называть линейное подпространство L0A 6 Rn нуль-пространством
или ядром матрицы A, а линейное подпространство RA 6 Rm обра-
зом матрицы A.
   Замечание 13.1. Введенные выше понятия ядра и образа по сво-
ей природе относятся к теории линейных отображений, которую
мы будем изучать в § 15. Однако задачи, с ними связанные, мож-
но решать уже сейчас, что мы и собираемся делать. Терминология
же введена авансом для краткости изложения. Когда мы доберемся
до линейных отображений (операторов), то мы поймем, что такие
отображения задаются своими матрицами (относительно некоторых
базисов) и что на практике все вычисления проводятся именно с
матрицами. В компьютерных математических системах (например,
Maple) также имеются команды вычисления ядра (nullspace) и обра-
за (colspace) для матриц.

  13.2. Базис и размерность для нуль-пространства мат-
рицы. Пусть линейное подпространство V 6 Rn задано как ядро
(m × n)-матрицы A, т. е. V = L0A . Тогда, решая соответствующую
однородную с.л.у., мы сначала приводим матрицу A к виду Жорда-
на — Гаусса A0 ; в частности, мы удаляем нулевые строки (если они