Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

106 Арифметические линейные пространства Гл. 2
образовались) и в новой (равносильной исходной) с.л.у. A
0
· ¯x =
¯
0
останется r независимых уравнений, где r — количество ступенек в
ступенчатом виде для A, т. е. r = rank(A).
Так получается другое, "более экономное" представление данного
подпространства: V = L
0
A
0
.
Продолжая решение, представим это подпространство в виде ли-
нейной оболочки базисных частных решений однородной с.л.у. (см.
пример 8.3 и предложение 11.3). Это будет уже вторым способом
задания подпространства V :
V = R
F
; F = (
¯
f
r+1
|...|
¯
f
n
), (13.3)
причем порождающие векторы (т. е. столбцы фундаментальной ма-
трицы F, или базисные ч.р.о.) образуют базис V. Размерность V, в
соответствии с упомянутым предложением 11.3, равна n − r, т. е.
dim(L
0
A
) = n − rank(A). (13.4)
Пример 13.1. Рассмотрим линейное подпространство V в R
n
,
заданное однородной с.л.у.
x
1
= x
2
= · · · = x
n
.
В развернутой записи эта с.л.у. имеет вид
x
1
− x
2
= 0;
x
2
− x
3
= 0;
........
x
n−1
− x
n
= 0.
Матрица этой системы имеет размеры (n − 1) × n и задается фор-
мулой
A =
1 −1 0 0 ... 0 0 0
0 1 −1 0 ... 0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 1 −1 0
0 0 0 0 ... 0 1 −1
.
Приведем ее к виду Ж.—Г. Для этого нужно к каждой строке, на-
чиная с предпоследней и продвигаясь вверх, прибавить предыдущую
строку. В итоге мы получим матрицу
A
0
=
1 0 0 0 ... 0 0 −1
0 1 0 0 ... 0 0 −1
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 1 0 −1
0 0 0 0 ... 0 1 −1
.
106        Арифметические линейные пространства              Гл. 2

образовались) и в новой (равносильной исходной) с.л.у. A0 · x̄ = 0̄
останется r независимых уравнений, где r — количество ступенек в
ступенчатом виде для A, т. е. r = rank(A).
   Так получается другое, "более экономное" представление данного
подпространства: V = L0A0 .
   Продолжая решение, представим это подпространство в виде ли-
нейной оболочки базисных частных решений однородной с.л.у. (см.
пример 8.3 и предложение 11.3). Это будет уже вторым способом
задания подпространства V :
                    V = RF ; F = (f¯r+1 |...| f¯n ),         (13.3)
причем порождающие векторы (т. е. столбцы фундаментальной ма-
трицы F, или базисные ч.р.о.) образуют базис V. Размерность V, в
соответствии с упомянутым предложением 11.3, равна n − r, т. е.
                      dim(L0A ) = n − rank(A).               (13.4)
  Пример 13.1. Рассмотрим линейное подпространство V в Rn ,
заданное однородной с.л.у.
                        x1 = x2 = · · · = xn .
  В развернутой записи эта с.л.у. имеет вид
       
        x − x2                                     = 0;
        1
                 x2 − x3                            = 0;
       
                             ........
                                       xn−1 − xn    =   0.
  Матрица этой системы имеет размеры (n − 1) × n и задается фор-
мулой
                                                   
                   1 −1 0       0 ... 0      0   0
                0     1 −1 0 ... 0          0   0 
                                                   
            A =  ... ... ... ... ... ... ... ...  .
                                                   
                   0   0   0    0 ... 1 −1 0
                   0   0   0    0 ... 0      1 −1
  Приведем ее к виду Ж.—Г. Для этого нужно к каждой строке, на-
чиная с предпоследней и продвигаясь вверх, прибавить предыдущую
строку. В итоге мы получим матрицу
                                                  
                     1 0 0 0 ... 0 0 −1
                  0 1 0 0 ... 0 0 −1 
              0                                   
             A =  ... ... ... ... ... ... ... ...  .
                                                  
                     0 0 0 0 ... 1 0 −1
                     0 0 0 0 ... 0 1 −1

Страницы