Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 108 стр.

108        Арифметические линейные пространства              Гл. 2

  Базисными векторами в V будут столбцы матрицы A с теми же
номерами, что и единичные столбцы в матрице A0 . Обозначим B
подматрицу размера m × r в матрице A, составленную из указан-
ных столбцов. Взяв линейную оболочку этих векторов-столбцов, мы
получим "более экономное" представление подпространства V (тем
же самым, вторым способом), а также значение размерности этого
подпространства:

                 V = RB ; dim(V ) = rank(A) = r.             (13.5)

   Замечание 13.2. Номера базисных векторов проясняются уже на
этапе ступенчатого вида: если нас интересует лишь базис в подпро-
странстве V, то мы можем остановиться на этом этапе и сформи-
ровать матрицу B. Внимание: в эту матрицу следует переписывать
(в их исходном виде!) те столбцы из матрицы A , которые в сту-
пенчатом виде "проходят через ключевые элементы" (т. е. являются
ключевыми столбцами).
   Размерность подпространства V, или, что то же, ранг матрицы A,
будет равняться количеству ступенек.
   Однако может представлять интерес задача с дополнительным за-
данием: помимо базиса в линейной оболочке системы векторов (из
числа порождающих векторов), определить разложения по найден-
ному базису тех порождающих векторов, которые в этот базис не
вошли.
   Здесь надо снова применить предложение 12.2, согласно которо-
му линейные соотношения между столбцами матрицы сохраняют-
ся при элементарных преобразованиях над строками этой матрицы.
Удобно несколько продвинуться в преобразованиях и сгруппировать
базисные столбцы в начале матрицы (с применением "меток", ана-
логичных тем, что мы использовали при решении с.л.у.; см. п. 4.4).
В результате мы придем к модифицированному виду Ж.—Г.
   В теоретическом рассуждении мы можем считать, что базисными
являются первые r столбцов; тогда в матрице A0 , в левом верхнем
углу, будет располагаться единичный блок Er . (Кстати, будет только
легче, если мы выбросим нулевые строки, т. е. применим преобра-
зования типа IV над строками, переходя в пространство меньшей
размерности, но с очевидным сохранением линейных соотношений
между векторами.)
   Для любого столбца ā0j матрицы A0 , не вошедшего в базис, эле-
менты этого столбца служат коэффициентами его разложения по