Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Алгоритмы построения базисов 109
естественному базису [¯e
1
, ..., ¯e
r
] пространства R
r
. Пусть, скажем,
¯a
0
j
= µ
1
¯e
1
+ · · · + µ
r
¯e
r
.
Тогда, согласно предложению 12.2, "старый" вектор ¯a
j
будет раз-
лагаться по "старым" базисным векторам с теми же коэффициента-
ми:
¯a
j
= µ
1
¯a
1
+ · · · + µ
r
¯a
r
.
Пример 13.2. Приведем числовой пример — стандартное упраж-
нение на понятие базиса в линейном подпространстве.
З а д а ч а. Подпространство V пространства R
3
является линей-
ной оболочкой системы векторов [¯a
1
, ¯a
2
, ¯a
3
, ¯a
4
], где
¯a
1
=
9
5
4
; ¯a
2
=
−1
1
−2
; ¯a
3
=
1
1
0
; ¯a
4
=
1
0
1
.
Найти базис подпространства V (из числа порождающих векто-
ров) и вычислить dim(V ). Порождающие векторы, не вошедшие в
найденный базис, разложить по этому базису.
Р е ш е н и е. Рассмотрим матрицу, составленную из векторов
порождающей системы, и приведем ее к модифицированному виду
Жордана — Гаусса. В качестве меток над столбцами проставим их
номера в исходной матрице. (В первой главе, в примере 4.1, в каче-
стве меток фигурировали имена неизвестных. Сейчас такие метки
были бы "не по задаче".)
A =
1 2 3 4
9 −1 1 1
5 1 1 0
4 −2 0 1
−→
−→
4 3 2 1
1 1 −1 9
0 1 1 5
1 0 −2 4
3
стр
+1
стр
·(−1)
−−−−−−−−−−−−→
−→
4 3 2 1
1 1 −1 9
0 1 1 5
0 −1 −1 −5
3
стр
+2
стр
−−−−−−−−−→
§ 13               Алгоритмы построения базисов                       109

естественному базису [ē1 , ..., ēr ] пространства Rr . Пусть, скажем,

                         ā0j = µ1 ē1 + · · · + µr ēr .

  Тогда, согласно предложению 12.2, "старый" вектор āj будет раз-
лагаться по "старым" базисным векторам с теми же коэффициента-
ми:
                      āj = µ1 ā1 + · · · + µr ār .
  Пример 13.2. Приведем числовой пример — стандартное упраж-
нение на понятие базиса в линейном подпространстве.
  З а д а ч а. Подпространство V пространства R3 является линей-
ной оболочкой системы векторов [ā1 , ā2 , ā3 , ā4 ], где
                                                        
                9          −1                   1              1
                 
        ā1 = 5 ; ā2 =    1  ; ā3 = 1 ; ā4 = 0  .
                                                           
                4          −2                   0              1

   Найти базис подпространства V (из числа порождающих векто-
ров) и вычислить dim(V ). Порождающие векторы, не вошедшие в
найденный базис, разложить по этому базису.
   Р е ш е н и е. Рассмотрим матрицу, составленную из векторов
порождающей системы, и приведем ее к модифицированному виду
Жордана — Гаусса. В качестве меток над столбцами проставим их
номера в исходной матрице. (В первой главе, в примере 4.1, в каче-
стве меток фигурировали имена неизвестных. Сейчас такие метки
были бы "не по задаче".)
                                         
                          1   2   3    4
                        9 −1 1        1 
                  A=   5
                                           −→
                              1   1    0 
                          4 −2 0       1
                                  
                   4    3   2   1
                  1    1 −1 9        3стр +1стр ·(−1)
             −→                   −−−−−−−−−−−−→
                   0    1   1   5 
                   1    0 −2 4
                                   
                     4    3   2   1
                   1     1 −1 9         3стр +2стр
              −→                    −−−−−−−−−→
                     0    1   1   5 
                     0 −1 −1 −5

Страницы