Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

110 Арифметические линейные пространства Гл. 2
−→
4 3 2 1
1 1 −1 9
0 1 1 5
0 0 0 0
−→
4 3 2 1
1 1 −1 9
0 1 1 5
−→ ...
Достигнут ступенчатый вид, и мы можем (взглянув на метки над
столбцами) констатировать, что с.в. [¯a
4
, ¯a
3
] является базисом V и что
dim(V ) = 2. Сделаем еще один шаг, чтобы достигнуть вида Ж.—Г.:
...
1
стр
+2
стр
·(−1)
−−−−−−−−−−−→
4 3 2 1
1 0 −2 4
0 1 1 5
= A
0
.
Для матрицы A
0
базисными столбцами являются ¯a
0
4
= ¯e
1
и ¯a
0
3
= ¯e
2
,
где [¯e
1
, ¯e
2
] — естественный базис в R
2
. Векторы ¯a
0
2
и ¯a
0
1
разлагаются
по этому базису следующим образом:
¯a
0
2
= (−2) · ¯e
1
+ 1 · ¯e
2
= −2¯a
0
4
+ ¯a
0
3
;
¯a
0
1
= 4 · ¯e
1
+ 5 · ¯e
2
= 4¯a
0
4
+ 5¯a
0
3
.
Значит, векторы ¯a
2
и ¯a
1
исходной с.в. выражаются по найденному
базису [¯a
4
, ¯a
3
] с теми же коэффициентами:
¯a
2
= −2¯a
4
+ ¯a
3
; ¯a
0
1
4¯a
4
+ 5¯a
3
.
13.4. Переход от второго способа задания линейных под-
пространств к первому. В этом пункте мы опишем прием, позво-
ляющий переходить от второго способа задания линейного подпро-
странства V в арифметическом линейном пространстве R
n
, т. е. от
представления подпространства в виде линейной оболочки некото-
рой конечной с.в., к первому способу задания, т. е. к представлению
V в виде подпространства решений некоторой с.л.у. (см. п. 13.1).
Учтите только, что при одновременном рассмотрении обоих спо-
собов (в отношении одного и того же подпространства) в двух опи-
саниях будут фигурировать разные матрицы.
Пусть подпространство V 6 R
n
задано вторым способом [см. фор-
мулу (13.2)]:
V = hGi = R
G
, (13.6)
где
G = [¯g
1
, ¯g
2
, ..., ¯g
k
] (13.7)
110          Арифметические линейные пространства                              Гл. 2
                                 
           4      3      2      1                                      
          1                             4                   3   2    1
                  1     −1      9 
      −→ 
          0
                                   −→  1                   1   −1   9  −→ ...
                  1     1       5 
                                         0                   1    1   5
           0      0     0       0
   Достигнут ступенчатый вид, и мы можем (взглянув на метки над
столбцами) констатировать, что с.в. [ā4 , ā3 ] является базисом V и что
dim(V ) = 2. Сделаем еще один шаг, чтобы достигнуть вида Ж.—Г.:
                                                     
                 1стр +2стр ·(−1)
                                    4 3       2     1
            ...−−−−−−−−−−−→  1       0 −2 4  = A0 .
                                    0 1       1     5

   Для матрицы A0 базисными столбцами являются ā04 = ē1 и ā03 = ē2 ,
где [ē1 , ē2 ] — естественный базис в R2 . Векторы ā02 и ā01 разлагаются
по этому базису следующим образом:

                   ā02 = (−2) · ē1 + 1 · ē2 = −2ā04 + ā03 ;

                      ā01 = 4 · ē1 + 5 · ē2 = 4ā04 + 5ā03 .
  Значит, векторы ā2 и ā1 исходной с.в. выражаются по найденному
базису [ā4 , ā3 ] с теми же коэффициентами:

                      ā2 = −2ā4 + ā3 ; ā01 4ā4 + 5ā3 .


   13.4. Переход от второго способа задания линейных под-
пространств к первому. В этом пункте мы опишем прием, позво-
ляющий переходить от второго способа задания линейного подпро-
странства V в арифметическом линейном пространстве Rn , т. е. от
представления подпространства в виде линейной оболочки некото-
рой конечной с.в., к первому способу задания, т. е. к представлению
V в виде подпространства решений некоторой с.л.у. (см. п. 13.1).
   Учтите только, что при одновременном рассмотрении обоих спо-
собов (в отношении одного и того же подпространства) в двух опи-
саниях будут фигурировать разные матрицы.
   Пусть подпространство V 6 Rn задано вторым способом [см. фор-
мулу (13.2)]:
                           V = hGi = RG ,                      (13.6)
где
                               G = [ḡ1 , ḡ2 , ..., ḡk ]                     (13.7)

Страницы