Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

112 Арифметические линейные пространства Гл. 2
Соотношения (13.12), в свою очередь, равносильны матричному
равенству
¯α
t
· G =
¯
0
t
, (13.13)
в котором ¯α
t
∈
∗
R
n
— неизвестная вектор-строка, а
¯
0
t
∈
∗
R
r
— ну-
левая строка (в ней столько нулей, сколько должно быть строк в
неизвестной матрице A).
Равенство (13.13) можно рассматривать как однородную с.л.у., в
которой, однако, неизвестные записаны не в столбец, а в строчку.
(Здесь это проистекает из существа задачи, поскольку в ней разыс-
кивается не вектор, а, как говорят, ковектор, или линейная форма;
с соответствующей терминологией вы познакомитесь в следующем
семестре, при изучении курса линейной алгебры и геометрии.)
Чтобы придать соотношению (13.13) привычную форму, надо его
транспонировать [с использованием свойств операции транспониро-
вания (xiv) — (xvii), см. п. 2.3]:
G
t
· ¯α =
¯
0. (13.14)
Решая эту однородную с.л.у. (в пространстве R
n
), мы найдем
n − rank(G
t
) = n − s базисных ч.р.о., из которых можно составить
фундаментальную матрицу F размера n × (n − s).
Искомая матрица A получится транспонированием F ; она будет
удовлетворять нужным соотношениям, все ее строки будут линейно
независимы, и их количество будет равно n−s = r, что и требовалось.
Переход завершен: мы по данной матрице G построили такую
матрицу A, что R
G
= L
0
A
.
Пример 13.3. Решим следующую з а д а ч у: линейное подпро-
странство V 6 R
5
задано как линейная оболочка системы векторов-
столбцов матрицы
G
=
1 1 3 0
−1 1 1 2
1 0 1 −1
−1 0 −1 1
1 3 7 2
,
т. е. V = R
G
— образ матрицы G. Задать V как подпространство
решений некоторой однородной с.л.у., т. е. представить его в виде
V = L
0
A
(как ядро некоторой матрицы A).
112        Арифметические линейные пространства                Гл. 2

  Соотношения (13.12), в свою очередь, равносильны матричному
равенству
                          ᾱt · G = 0̄t ,               (13.13)
                ∗                                         ∗
в котором ᾱt ∈ Rn — неизвестная вектор-строка, а 0̄t ∈ Rr — ну-
левая строка (в ней столько нулей, сколько должно быть строк в
неизвестной матрице A).
   Равенство (13.13) можно рассматривать как однородную с.л.у., в
которой, однако, неизвестные записаны не в столбец, а в строчку.
(Здесь это проистекает из существа задачи, поскольку в ней разыс-
кивается не вектор, а, как говорят, ковектор, или линейная форма;
с соответствующей терминологией вы познакомитесь в следующем
семестре, при изучении курса линейной алгебры и геометрии.)
   Чтобы придать соотношению (13.13) привычную форму, надо его
транспонировать [с использованием свойств операции транспониро-
вания (xiv) — (xvii), см. п. 2.3]:

                             Gt · ᾱ = 0̄.                    (13.14)

  Решая эту однородную с.л.у. (в пространстве Rn ), мы найдем
n − rank(Gt ) = n − s базисных ч.р.о., из которых можно составить
фундаментальную матрицу F размера n × (n − s).
  Искомая матрица A получится транспонированием F ; она будет
удовлетворять нужным соотношениям, все ее строки будут линейно
независимы, и их количество будет равно n−s = r, что и требовалось.
  Переход завершен: мы по данной матрице G построили такую
матрицу A, что RG = L0A .
   Пример 13.3. Решим следующую з а д а ч у: линейное подпро-
странство V 6 R5 задано как линейная оболочка системы векторов-
столбцов матрицы
                                          
                        1        1    3  0
                       −1       1    1  2 
                                          
                    G= 1        0    1 −1  ,
                                          
                        −1       0    −1 1
                        1        3    7  2

т. е. V = RG — образ матрицы G. Задать V как подпространство
решений некоторой однородной с.л.у., т. е. представить его в виде
V = L0A (как ядро некоторой матрицы A).

Страницы