Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Алгоритмы построения базисов 113
Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную с.л.у. (13.14), матрицей
которой служит матрица G
t
, транспонированная к данной матрице
G, и приведем транспонированную матрицу к модифицированному
виду Ж.—Г.:
G
t
=
α
1
α
2
α
3
α
4
α
5
1 −1 1 −1 1
1 1 0 0 3
3 1 1 −1 7
0 2 −1 1 2
2
стр
+1
стр
·(−1)
−−−−−−−−−−−−→
3
стр
+1
стр
·(−3)
−→
α
1
α
2
α
3
α
4
α
5
1 −1 1 −1 1
0 2 −1 1 2
0 4 −2 2 4
0 2 −1 1 2
−→
−→
α
1
α
2
α
3
α
4
α
5
1 −1 1 −1 1
0 2 −1 1 2
−→ ...
Видим, что ранг матрицы G
t
(или, что то же, ранг матрицы G)
равен 2 и что можно было бы, предварительно "обработав" исходную
матрицу, оставить только два из четырех порождающих векторов.
Но можно начинать вычисления и с "неподготовленной" матрицы,
что мы и сделали выше. Продолжим преобразования:
... −→
α
1
α
4
α
2
α
3
α
5
1 −1 −1 1 1
0 1 2 −1 2
1
стр
+2
стр
−−−−−−−−−→
−→
α
1
α
4
α
2
α
3
α
5
1 0 1 0 3
0 1 2 −1 2
.
Модифицированный вид Ж.—Г. достигнут. Выписывая с.л.у., от-
вечающую преобразованной матрице, и решая эту систему, получим:
¯α = α
2
−1
1
0
−2
0
+ α
3
0
0
1
1
0
+ α
5
−3
0
0
−2
1
.
§ 13            Алгоритмы построения базисов                                  113

  Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную с.л.у. (13.14), матрицей
которой служит матрица Gt , транспонированная к данной матрице
G, и приведем транспонированную матрицу к модифицированному
виду Ж.—Г.:
           α         α2    α3        α4        α5       
             1
           1         −1    1         −1        1         2стр +1стр ·(−1)
        t                                               
       G = 1         1      0        0         3         −−−стр
                                                               −−−−−−−−−→
                                                         3 +1стр ·(−3)
            3         1      1        −1        7
            0         2     −1        1         2
                α         α2        α3        α4         α5   
                    1
                1         −1        1         −1         1    
                                                              
            −→  0         2         −1        1          2     −→
                                                              
                   0       4         −2        2          4
                   0       2         −1        1          2
                                                           
                α1         α2        α3        α4        α5
           −→  1          −1        1         −1        1  −→ ...
                 0         2         −1        1         2
  Видим, что ранг матрицы Gt (или, что то же, ранг матрицы G)
равен 2 и что можно было бы, предварительно "обработав" исходную
матрицу, оставить только два из четырех порождающих векторов.
Но можно начинать вычисления и с "неподготовленной" матрицы,
что мы и сделали выше. Продолжим преобразования:
                                          
                 α1    α4    α2   α3    α5
                                               1стр +2стр
        ... −→  1    −1 −1        1    1  −−−−−−−−−→
                  0    1      2   −1    2
                                                               
                   α1           α4        α2        α3       α5
              −→  1            0         1         0        3 .
                   0            1         2         −1       2
  Модифицированный вид Ж.—Г. достигнут. Выписывая с.л.у., от-
вечающую преобразованной матрице, и решая эту систему, получим:
                                           
                       −1         0          −3
                      1       0         0 
                                           
             ᾱ = α2  0  + α3  1  + α5  0  .
                                           
                       −2         1          −2
                       0          0          1

Страницы