Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Алгоритмы построения базисов 111
— некоторая с.в. в пространстве R
n
, а
G = (¯g
1
| ¯g
2
| ...| ¯g
k
) (13.8)
— соответствующая (n × k)-матрица.
Задача состоит в том, чтобы представить это подпространство
первым способом [т. е. формулой (13.1)]. Таким образом, подлежит
определению (m×n)-матрица A такая, что V = L
0
A
. Из формул (13.4)
и (13.5) следует, что должны выполняться равенства:
n − rank(A) = dim(V ) = rank(G). (13.9)
Поэтому искомая матрица A должна иметь ранг r, равный n − s,
где s = rank(G). Следовательно, если мы не хотим, чтобы в матри-
це A присутствовали "лишние" строки (которые все равно придется
выбрасывать при решении с.л.у.), то мы можем считать, что в этой
матрице r = n − s линейно независимых строк.
Общим видом для неизвестной вектор-строки матрицы A будет:
¯α
t
= (α
1
α
2
... α
n
) . (13.10)
Далее, каждый вектор ¯x ∈ V должен удовлетворять однородной
с.л.у.
A · ¯x =
¯
0
(с неизвестной пока матрицей A). А поскольку векторы из с.в. G
порождают V, то, для того чтобы это соотношение было справедли-
вым для всех ¯x ∈ V, достаточно, чтобы оно выполнялось для всех
порождающих векторов:
A · ¯g
j
=
¯
0; j = 1, ..., k. (13.11)
Вычисления станут только легче, если мы предварительно изба-
вимся от "лишних" порождающих векторов, выбрав (из числа по-
рождающих) какой-либо базис в подпространстве V , как это дела-
лось в предыдущем пункте.
Давайте поэтому считать, что указанное исключение уже произ-
ведено и ранг матрицы G совпадает с количеством ее столбцов, т. е.
s = k.
Для того чтобы матрица A удовлетворяла соотношениям (13.11),
необходимо и достаточно (см. определение матричного умножения),
чтобы каждая ее строка (13.10) удовлетворяла соотношениям
¯α
t
· ¯g
j
= 0; j = 1, ..., k. (13.12)
§ 13             Алгоритмы построения базисов                111

— некоторая с.в. в пространстве Rn , а

                         G = (ḡ1 | ḡ2 | ...| ḡk )        (13.8)

— соответствующая (n × k)-матрица.
   Задача состоит в том, чтобы представить это подпространство
первым способом [т. е. формулой (13.1)]. Таким образом, подлежит
определению (m×n)-матрица A такая, что V = L0A . Из формул (13.4)
и (13.5) следует, что должны выполняться равенства:

                 n − rank(A) = dim(V ) = rank(G).           (13.9)

   Поэтому искомая матрица A должна иметь ранг r, равный n − s,
где s = rank(G). Следовательно, если мы не хотим, чтобы в матри-
це A присутствовали "лишние" строки (которые все равно придется
выбрасывать при решении с.л.у.), то мы можем считать, что в этой
матрице r = n − s линейно независимых строк.
   Общим видом для неизвестной вектор-строки матрицы A будет:

                        ᾱt = (α1 α2 ... αn ) .            (13.10)

   Далее, каждый вектор x̄ ∈ V должен удовлетворять однородной
с.л.у.
                            A · x̄ = 0̄
(с неизвестной пока матрицей A). А поскольку векторы из с.в. G
порождают V, то, для того чтобы это соотношение было справедли-
вым для всех x̄ ∈ V, достаточно, чтобы оно выполнялось для всех
порождающих векторов:

                       A · ḡj = 0̄; j = 1, ..., k.        (13.11)

   Вычисления станут только легче, если мы предварительно изба-
вимся от "лишних" порождающих векторов, выбрав (из числа по-
рождающих) какой-либо базис в подпространстве V , как это дела-
лось в предыдущем пункте.
   Давайте поэтому считать, что указанное исключение уже произ-
ведено и ранг матрицы G совпадает с количеством ее столбцов, т. е.
s = k.
   Для того чтобы матрица A удовлетворяла соотношениям (13.11),
необходимо и достаточно (см. определение матричного умножения),
чтобы каждая ее строка (13.10) удовлетворяла соотношениям

                       ᾱt · ḡj = 0; j = 1, ..., k.       (13.12)

Страницы