Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Алгоритмы построения базисов 115
Пример 13.4. Дана матрица
A =
1 λ −1 λ 1
λ λ
2
+ λ − 1 −λ + 1 λ
2
+ 2 λ + 1
2 2λ λ
2
− λ − 2 2λ 2
0 λ − 1 1 λ
2
+ 2λ + 2 λ + 1
.
Поставим з а д а ч у: вычислить (при всех значениях параметра λ)
ранг матрицы A.
Р е ш е н и е:
A
2
стр
+1
стр
·(−λ)
−−−−−−−−−−−−→
3
стр
+1
стр
·(−2)
1 λ −1 λ 1
0 λ − 1 1 2 1
0 0 λ
2
− λ 0 0
0 λ − 1 1 λ
2
+ 2λ + 2 λ + 1
−→
4
стр
+2
стр
·(−1)
−−−−−−−−−−−−→
1 λ −1 λ 1
0 λ − 1 1 2 1
0 0 λ
2
− λ 0 0
0 0 0 λ
2
+ 2λ λ
=
=
1 λ −1 λ 1
0 λ − 1 1 2 1
0 0 λ(λ − 1) 0 0
0 0 0 λ(λ + 2) λ
= A
0
.
Достигнут ступенчатый вид, но три из четырех ступенек занима-
ют многочлены по переменной λ, которые при отдельных значениях
λ могут обращаться в нуль.
Видно, что особыми значениями являются λ ∈ {0, 1, −2}.
В неособом случае (λ 6∈ {0, 1, −2}) ранг матрицы равен 4.
В первом особом случае (λ = 0) матрица A
0
принимает вид:
A
0
=
1 0 −1 0 1
0 −1 1 2 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
Эта матрица имеет ступенчатый вид с двумя ступеньками.
Во втором особом случае (λ = 1) получим:
A
0
=
1 1 −1 1 1
0 0 1 2 1
0 0 0 0 0
0 0 0 3 1
.
§ 13              Алгоритмы построения базисов                     115

   Пример 13.4. Дана матрица
                                                            
          1        λ       −1          λ                  1
               2                     2
        λ λ + λ − 1      −λ + 1    λ +2                λ + 1
     A=                 2                                   .
          2       2λ    λ −λ−2        2λ                  2
                                  2
          0      λ−1        1    λ + 2λ + 2             λ+1
  Поставим з а д а ч у: вычислить (при всех значениях параметра λ)
ранг матрицы A.
  Р е ш е н и е:
                                                                   
                            1     λ      −1            λ         1
     2стр +1стр ·(−λ)    0 λ − 1         1            2         1 
  A−−−стр
        −−−−  − −− −− →                2                            −→
      3   +1стр ·(−2)       0     0    λ −λ            0         0
                            0 λ−1         1       λ2 + 2λ + 2 λ + 1
                                                                
                                1    λ       −1          λ    1
           4стр +2стр ·(−1)  0 λ − 1          1         2    1
         −−−−−−−−−−−−→                      2                   =
                                0    0     λ −λ          0    0
                                0    0         0     λ2 + 2λ λ
                                                         
                    1      λ        −1           λ      1
                 0 λ − 1           1            2      1     0
              =                                          =A.
                    0      0     λ(λ − 1)        0      0
                    0      0        0       λ(λ + 2) λ
  Достигнут ступенчатый вид, но три из четырех ступенек занима-
ют многочлены по переменной λ, которые при отдельных значениях
λ могут обращаться в нуль.
  Видно, что особыми значениями являются λ ∈ {0, 1, −2}.
  В неособом случае (λ 6∈ {0, 1, −2}) ранг матрицы равен 4.
  В первом особом случае (λ = 0) матрица A0 принимает вид:
                                            
                           1 0 −1 0 1
                         0 −1 1 2 1 
                  A0 =                      .
                           0 0       0 0 0
                           0 0       0 0 0
   Эта матрица имеет ступенчатый вид с двумя ступеньками.
   Во втором особом случае (λ = 1) получим:
                                         
                           1 1 −1 1 1
                        0 0 1 2 1
                   A0 =                  .
                           0 0 0 0 0
                           0 0 0 3 1

Страницы