Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Алгоритмы построения базисов 107
Видим, что последнюю неизвестную x
n
можно принять за свобод-
ную, остальные неизвестные будут главными (они выразятся через
свободную как раз по тем формулам, которые были даны нам изна-
чально). Общее решение системы определится формулой
¯x = x
n
1
1
...
1
1
.
Здесь мы имеем одно базисное решение
¯
f
n
=
1
1
...
1
1
.
Следовательно, подпространство решений V = L
0
A
является одно-
мерным. Вторым способом оно может быть представлено в виде
V = R
F
; F = (
¯
f
n
),
т. е. как линейная оболочка одного вектора (образ одностолбцовой
матрицы).
13.3. Базис и размерность для линейной оболочки столб-
цов матрицы. Рассмотрим теперь линейное подпространство, за-
данное вторым способом: V = R
A
6 R
m
, где A — матрица размера
m × n. Найдем базис подпространства V из числа порождающих это
подпространство векторов (столбцов матрицы A). Для этого приве-
дем матрицу к виду Ж.—Г. A
0
, используя элементарные преобразо-
вания типов I — III над строками [см. формулу (5.2)].
В соответствии с предложениями 12.1 и 12.2, при преобразова-
ниях над строками базисные векторы останутся базисными (хотя
уже в другом подпространстве!); в матрице A
0
базисные столбцы
будут легко заметны: в качестве базисных можно будет взять клю-
чевые столбцы, являющиеся единичными векторами ¯e
1
, ¯e
2
, ..., ¯e
r
, где
r = rank(A).
§ 13              Алгоритмы построения базисов                      107

   Видим, что последнюю неизвестную xn можно принять за свобод-
ную, остальные неизвестные будут главными (они выразятся через
свободную как раз по тем формулам, которые были даны нам изна-
чально). Общее решение системы определится формулой
                                         
                                       1
                                    1
                                     
                            x̄ = xn  ...  .
                                     
                                       1
                                       1

   Здесь мы имеем одно базисное решение
                                        
                                      1
                                   1
                                    
                             f¯n =  ...  .
                                    
                                      1
                                      1

  Следовательно, подпространство решений V = L0A является одно-
мерным. Вторым способом оно может быть представлено в виде

                          V = RF ; F = (f¯n ),

т. е. как линейная оболочка одного вектора (образ одностолбцовой
матрицы).


   13.3. Базис и размерность для линейной оболочки столб-
цов матрицы. Рассмотрим теперь линейное подпространство, за-
данное вторым способом: V = RA 6 Rm , где A — матрица размера
m × n. Найдем базис подпространства V из числа порождающих это
подпространство векторов (столбцов матрицы A). Для этого приве-
дем матрицу к виду Ж.—Г. A0 , используя элементарные преобразо-
вания типов I — III над строками [см. формулу (5.2)].
   В соответствии с предложениями 12.1 и 12.2, при преобразова-
ниях над строками базисные векторы останутся базисными (хотя
уже в другом подпространстве!); в матрице A0 базисные столбцы
будут легко заметны: в качестве базисных можно будет взять клю-
чевые столбцы, являющиеся единичными векторами ē1 , ē2 , ..., ēr , где
r = rank(A).

Страницы