Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 102 стр.

102        Арифметические линейные пространства             Гл. 2

для векторов преобразованной матрицы. Первое утверждение пред-
ложения доказано.
   2. Второе утверждение немедленно следует из первого. В самом
деле, в силу обратимости элементарных преобразований, это утвер-
ждение достаточно доказать для свойства линейной зависимости (и
тогда для свойства линейной независимости оно будет выполняться
автоматически).
   Но линейная зависимость системы векторов равносильна суще-
ствованию линейного выражения одного из векторов системы через
остальные (см. п. 2 предложения 9.2).
   Линейные соотношения между столбцами, как доказано выше, со-
храняются при элементарных преобразованиях над строками, а зна-
чит, сохранится и факт линейной зависимости столбцов. ¤

   Замечание 12.1. Разумеется, справедлив также и "транспониро-
ванный факт" для линейных соотношений над строками и преобра-
зований над столбцами.
   Теперь мы можем доказать основное предложение данного пунк-
та.

   Предложение 12.3. Элементарные преобразования над строка-
ми матрицы сохраняют ее столбцовый ранг, а преобразования над
столбцами сохраняют строчный ранг.

   Доказательство (для столбцового ранга). Пусть столбцовый ранг
rankстб (A) = r. Это означает, что в матрице A существует r линей-
но независимых столбцов, а остальные столбцы через них линейно
выражаются. Пусть A0 — матрица, полученная из A с помощью эле-
ментарных преобразований над строками. Из предыдущего пред-
ложения вытекает, что в матрице A0 столбцы (с теми же номерами,
что и отмеченные выше r столбцов в матрице A) также будут линей-
но независимыми, а остальные столбцы A0 будут через них линейно
выражаться. Следовательно, столбцовый ранг матрицы A0 также
будет равняться r. ¤


   12.4. Первая теорема о ранге матрицы. В замечании 11.4
говорилось о четырех подходах к понятию ранга матрицы. На на-
стоящий момент нам знакомы три из них: ступенчатый, столбцовый
и строчный ранги. Ниже будет доказано совпадение этих числовых
характеристик для матриц.