Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

20 Системы линейных уравнений и алгебра матриц Гл. 1
Развернутая запись (1.2) может быть представлена в более ком-
пактной форме с помощью знака суммирования:
n
X
j=1
a
ij
x
j
= b
i
; i = 1, ..., m. (1.2a)
Решением системы линейных уравнений (с.л.у.) (1.2) называется
набор чисел x
0
1
, x
0
2
, ..., x
0
n
, при подстановке которых вместо соответ-
ствующих неизвестных в уравнения системы (1.2) эти уравнения об-
ращаются в истинные равенства.
1.2. Матрицы. В математике очень важны удачные обозначе-
ния, такие, которые помогают пониманию сути задачи и облегчают
ее решение. Мы постараемся придать записи (1.2) с.л.у. более лако-
ничную форму, похожую на форму уравнения (1.1). С этой целью
вводятся в рассмотрение прямоугольные таблицы, составленные из
чисел, называемые матрицами.
Общий вид матрицы размера m × n таков:
A
m×n
=
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn
. (1.3)
Обратите внимание на то, что в случае необходимости мы указы-
ваем под обозначением матрицы ее размеры.
Введем обозначение Mat(m, n; R) для множества всех (m × n)-
матриц с элементами из множества R. Две матрицы считаются рав-
ными, если одинаковы их размеры и равны все соответствующие
элементы.
Сложение двух матриц (одинакового размера) и умножение ма-
трицы на число осуществляется поэлементно, т. е.
C
m×n
= A
m×n
+ B
m×n
; c
ij
= a
ij
+ b
ij
; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n ; (1.4)
B
m×n
= λ · A
m×n
; b
ij
= λ · a
ij
; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n. (1.5)
Умножение двух матриц A · B считается возможным, если число
столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B, и опреде-
ляется следующим образом:
20     Системы линейных уравнений и алгебра матриц                     Гл. 1

  Развернутая запись (1.2) может быть представлена в более ком-
пактной форме с помощью знака суммирования:
                       n
                       X
                             aij xj = bi ; i = 1, ..., m.              (1.2a)
                       j=1


   Решением системы линейных уравнений (с.л.у.) (1.2) называется
набор чисел x01 , x02 , ..., x0n , при подстановке которых вместо соответ-
ствующих неизвестных в уравнения системы (1.2) эти уравнения об-
ращаются в истинные равенства.
   1.2. Матрицы. В математике очень важны удачные обозначе-
ния, такие, которые помогают пониманию сути задачи и облегчают
ее решение. Мы постараемся придать записи (1.2) с.л.у. более лако-
ничную форму, похожую на форму уравнения (1.1). С этой целью
вводятся в рассмотрение прямоугольные таблицы, составленные из
чисел, называемые матрицами.
   Общий вид матрицы размера m × n таков:
                                                     
                          a11          a12    ... a1n
                         a            a22    ... a2n 
                     A =  21                         .                (1.3)
                    m×n    ...          ...   ... ...
                          am1          am2    ... amn

  Обратите внимание на то, что в случае необходимости мы указы-
ваем под обозначением матрицы ее размеры.
  Введем обозначение Mat(m, n; R) для множества всех (m × n)-
матриц с элементами из множества R. Две матрицы считаются рав-
ными, если одинаковы их размеры и равны все соответствующие
элементы.
  Сложение двух матриц (одинакового размера) и умножение ма-
трицы на число осуществляется поэлементно, т. е.

     C = A + B ; cij = aij + bij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n;        (1.4)
     m×n    m×n    m×n


           B = λ · A ; bij = λ · aij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.    (1.5)
           m×n       m×n

   Умножение двух матриц A · B считается возможным, если число
столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B, и опреде-
ляется следующим образом:

Страницы