Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 5 Метод Жордана — Гаусса для матриц 53
4. Если в матрице (5.3), кроме нескольких единиц, расположенных
в начале главной диагонали, нет других ненулевых элементов, т. е.
если
A =
1
1
.
.
.
1
, (5.4)
то говорят, что матрица A имеет скелетный вид.
Замечание 5.1. Модифицированный вид Ж.—Г. и скелетный вид
матрицы могут быть описаны с помощью так называемых блочных
матриц. Простейшим вариантом блочной матрицы является матри-
ца, разбитая на четыре прямоугольных блока следующим образом:
M
(k
1
+k
2
)×(l
1
+l
2
)
=
A
k
1
×l
1
C
k
2
×l
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
B
k
1
×l
2
D
k
2
×l
2
. (5.5)
Обозначив буквой r количество ступенек в матрице (5.3), мы мо-
жем представить эту матрицу в блочном виде:
A
m×n
=
E
r×r
O
(m−r)×r
¯
¯
¯
¯
¯
¯
H
r×(n−r)
O
(m−r)×(n−r)
, (5.3a)
где E — единичная матрица (см. п. 2.3), H — произвольная матрица.
Скелетная матрица (5.4) имеет блочное представление
A
m×n
=
E
r×r
O
(m−r)×r
¯
¯
¯
¯
¯
¯
O
r×(n−r)
O
(m−r)×(n−r)
. (5.4a)
5.2. Теорема Жордана – Гаусса для матриц. В этом пункте
будет сформулирована и доказана основная теорема метода Ж.—
Г. для матриц. В § 4 были определены элементарные преобразова-
ния для с.л.у. и соответствующие элементарные преобразования над
строками расширенных матриц этих систем. Однако при изучении
элементарных преобразований для матриц (безотносительно к систе-
мам линейных уравнений) принято рассматривать преобразования,
§5            Метод Жордана — Гаусса для матриц                 53

   4. Если в матрице (5.3), кроме нескольких единиц, расположенных
в начале главной диагонали, нет других ненулевых элементов, т. е.
если                                          
                          1
                             1                
                                .             
                                  ..          
                  A=   
                                               ,
                                                              (5.4)
                                     1        
                                              


то говорят, что матрица A имеет скелетный вид.
   Замечание 5.1. Модифицированный вид Ж.—Г. и скелетный вид
матрицы могут быть описаны с помощью так называемых блочных
матриц. Простейшим вариантом блочной матрицы является матри-
ца, разбитая на четыре прямоугольных блока следующим образом:
                                               ¯     
                                            A ¯¯ B
                                          k ×l k ×l
                          M            =  1 1¯¯ 1 2 .  (5.5)
                   (k1 +k2 )×(l1 +l2 )      C ¯ D
                                          k2 ×l1 k2 ×l2


  Обозначив буквой r количество ступенек в матрице (5.3), мы мо-
жем представить эту матрицу в блочном виде:
                               ¯          
                            E ¯¯     H
                           r×r ¯ r×(n−r)
                   A =                    ,              (5.3a)
                  m×n       O ¯¯     O
                         (m−r)×r (m−r)×(n−r)


где E — единичная матрица (см. п. 2.3), H — произвольная матрица.
   Скелетная матрица (5.4) имеет блочное представление
                                ¯           
                             E ¯¯       O
                            r×r ¯ r×(n−r)
                   A =                      .             (5.4a)
                  m×n        O ¯¯       O
                          (m−r)×r (m−r)×(n−r)


   5.2. Теорема Жордана – Гаусса для матриц. В этом пункте
будет сформулирована и доказана основная теорема метода Ж.—
Г. для матриц. В § 4 были определены элементарные преобразова-
ния для с.л.у. и соответствующие элементарные преобразования над
строками расширенных матриц этих систем. Однако при изучении
элементарных преобразований для матриц (безотносительно к систе-
мам линейных уравнений) принято рассматривать преобразования,

Страницы