Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

54 Системы линейных уравнений и алгебра матриц Гл. 1
сохраняющие размеры матриц, т. е. преобразования типа IV исклю-
чаются из рассмотрения. С другой стороны, при изучении "матриц
вообще" строки и столбцы совершенно равноправны, поэтому наря-
ду с элементарными преобразованиями (типов I — III) над строками
следует рассматривать аналогичные преобразования над столбцами
матриц. (Ниже, в § 6, мы снова вернемся к матрицам, происходя-
щим из с.л.у., и докажем соответствующую теорему, учитывающую
специфику таких матриц.)
Теорема 5.1. Рассмотрим произвольную матрицу A с действи-
тельными элементами.
1. С помощью элементарных преобразований типов I — II над
строками матрица A может быть приведена к ступенчатому
виду.
2. Если дополнительно разрешить элементарные преобразования
типа III (над строками), то матрицу можно привести к виду Жор-
дана — Гаусса.
3. Если дополнительно разрешить элементарные преобразования
типа I над столбцами, то матрицу можно привести к модифициро-
ванному виду Жордана — Гаусса.
4. Если дополнительно разрешить элементарные преобразования
типа II над столбцами, то матрицу можно привести к скелетному
виду.
Доказательство. 1. Пусть дана (m × n)-матрица (1.3). Если
A = O, то нечего доказывать: нулевую матрицу можно рассмат-
ривать как ступенчатую (с числом ступенек, равным нулю). Если
матрица ненулевая, то будем просматривать столбцы этой матрицы,
начиная с первого, до тех пор, пока нам не встретится ненулевой
столбец. Этот столбец мы примем за первый ключевой. С помощью
перестановки строк (т. е. элементарных преобразований типа I) до-
бьемся того, чтобы верхний элемент ключевого столбца стал ненуле-
вым, и примем этот элемент за первый ключевой элемент. Допустим,
он равен a.
С помощью элементарных преобразований типа II (над строками)
сделаем нули под ключевым элементом. Если, скажем, в i-й строке
под ключевым элементом стоит число c, то оно "обнуляется" преоб-
разованием i
стр
+ 1
стр
· (−
c
a
).
После завершения этого этапа мы получим:
54    Системы линейных уравнений и алгебра матриц          Гл. 1

сохраняющие размеры матриц, т. е. преобразования типа IV исклю-
чаются из рассмотрения. С другой стороны, при изучении "матриц
вообще" строки и столбцы совершенно равноправны, поэтому наря-
ду с элементарными преобразованиями (типов I — III) над строками
следует рассматривать аналогичные преобразования над столбцами
матриц. (Ниже, в § 6, мы снова вернемся к матрицам, происходя-
щим из с.л.у., и докажем соответствующую теорему, учитывающую
специфику таких матриц.)

  Теорема 5.1. Рассмотрим произвольную матрицу A с действи-
тельными элементами.
  1. С помощью элементарных преобразований типов I — II над
строками матрица A может быть приведена к ступенчатому
виду.
  2. Если дополнительно разрешить элементарные преобразования
типа III (над строками), то матрицу можно привести к виду Жор-
дана — Гаусса.
  3. Если дополнительно разрешить элементарные преобразования
типа I над столбцами, то матрицу можно привести к модифициро-
ванному виду Жордана — Гаусса.
  4. Если дополнительно разрешить элементарные преобразования
типа II над столбцами, то матрицу можно привести к скелетному
виду.

   Доказательство. 1. Пусть дана (m × n)-матрица (1.3). Если
A = O, то нечего доказывать: нулевую матрицу можно рассмат-
ривать как ступенчатую (с числом ступенек, равным нулю). Если
матрица ненулевая, то будем просматривать столбцы этой матрицы,
начиная с первого, до тех пор, пока нам не встретится ненулевой
столбец. Этот столбец мы примем за первый ключевой. С помощью
перестановки строк (т. е. элементарных преобразований типа I) до-
бьемся того, чтобы верхний элемент ключевого столбца стал ненуле-
вым, и примем этот элемент за первый ключевой элемент. Допустим,
он равен a.
   С помощью элементарных преобразований типа II (над строками)
сделаем нули под ключевым элементом. Если, скажем, в i-й строке
под ключевым элементом стоит число c, то оно "обнуляется" преоб-
разованием iстр + 1стр · (− ac ).
   После завершения этого этапа мы получим:

Страницы