Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 56 стр.

56       Системы линейных уравнений и алгебра матриц                         Гл. 1

                                                                       
                             1     0    ...    0     ∗    ... h1j   ...
                            0     1    ...    0     ∗    ... h2j   ... 
                                                                       
                           ...   ...   ...   ...   ...   ... ...   ... 
                                                                       
           A → ··· → 
                            0     0    ...    1     ∗    ... hrj   ... 
                                                                        ,
                                                                       
                                                                       
                                                                       


обнуляется одним "комбинированным" действием
         j стб + 1стб · (−h1j ) + 2стб · (−h2j ) + · · · + rстб · (−hrj ).
     Таким образом мы получим скелетный вид (5.4). ¤
   Замечание 5.2. К ступенчатому виду матрицы можной прийти
"разными путями" (с помощью различных последовательностей эле-
ментарных преобразований). И сам этот вид определен не однознач-
но. В последствии, однако, в п. 11.4, будет установлено, что "коли-
чество ступенек" r инвариантно (не зависит от способа приведения
матрицы к ступенчатому виду). Это количество будет важнейшей
числовой характеристикой матрицы и получит имя ранг матрицы.
Скелетный вид матрицы, поскольку он полностью определяется чис-
лом r, также будет инвариантным.



                § 6. Метод Жордана — Гаусса
              для систем линейных уравнений
   6.1. Теорема Жордана — Гаусса для с.л.у. В этом пунк-
те мы применим результаты теоремы 5.1 к матрице, являющейся
расширенной матрицей с.л.у. Данный случай имеет следующие осо-
бенности:
   1) элементарные преобразования типов I — III, безусловно, можно
производить лишь над строками матрицы;
   2) над столбцами (кроме последнего, состоящего из правых ча-
стей уравнений) можно производить лишь преобразования типа I,
причем для того чтобы не забыть, какой неизвестной отвечает тот
или иной столбец, приходится ставить над столбцами метки (знаки
неизвестных); последний столбец никуда переставлять нельзя;
   3) преобразования над столбцами типов II — III в этой ситуции
применять нельзя, поскольку они "смешивают" неизвестные;