Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 6 Метод Жордана — Гаусса для линейных систем 57
4) можно использовать преобразования над строками типа IV, вы-
брасывая нулевые строки.
Теорема 6.1. Пусть B — расширенная матрица (4.3), соответс-
твующая с.л.у. (1.10); B
0
= (A
0
|
¯
b
0
) — ступенчатый вид матрицы B;
r — количество ступенек в матрице A
0
. Тогда в матрице B
0
ступенек
либо столько же, либо на одну больше.
1. Если количество ступенек для B
0
равно r + 1, то последняя
ступенька приходится на последний, (n + 1)-й столбец B
0
и с.л.у.
(1.10) несовместна.
2. Если количество ступенек для B
0
равно r, то с.л.у. (1.10) сов-
местна и возможны следующие два случая.
2а. Если количество ступенек r равняется числу неизвестных n,
то с.л.у. (1.10) является определенной. Приводя в этом случае мат-
рицу B
0
к виду Ж.—Г. (и вычеркивая нулевые строки), мы получим
матрицу
B
00
n×(n+1)
=
µ
E
n×n
¯
¯
¯
¯
¯
β
n×1
, (6.1)
последний столбец которой определяет единственное решение систе-
мы (1.10): ¯x
0
=
¯
β.
2б. Если r < n, то с.л.у. (1.10) является неопределенной и ее об-
щее решение содержит n − r свободных неизвестных, принимающих
произвольные значения. Для отыскания общего решения приведем
матрицу B
0
к модифицированному виду Ж.—Г. (и вычеркнем нуле-
вые строки), получим матрицу вида
B
00
r×(n+1)
=
µ
E
r×r
¯
¯
¯
¯
H
r×(n−r)
¯
¯
¯
¯
¯
β
r×1
. (6.2)
В качестве свободных неизвестных можно выбрать неизвестные,
приходящиеся на зону матрицы H. Если предположить, что порядок
неизвестных в ходе преобразований не был изменен, то в качестве
свободных неизвестных будут фигурировать
x
r+1
, x
r+2
, . . . , x
n
,
а общее решение системы (1.10) будет иметь следующую структуру:
¯x = x
r+1
¯
f
r+1
+ x
r+2
¯
f
r+2
+ · · · + x
n
¯
f
n
+ ¯x
0
, (6.3)
§6       Метод Жордана — Гаусса для линейных систем                   57

  4) можно использовать преобразования над строками типа IV, вы-
брасывая нулевые строки.
   Теорема 6.1. Пусть B — расширенная матрица (4.3), соответс-
твующая с.л.у. (1.10); B 0 = (A0 |b̄0 ) — ступенчатый вид матрицы B;
r — количество ступенек в матрице A0 . Тогда в матрице B 0 ступенек
либо столько же, либо на одну больше.
   1. Если количество ступенек для B 0 равно r + 1, то последняя
ступенька приходится на последний, (n + 1)-й столбец B 0 и с.л.у.
(1.10) несовместна.
   2. Если количество ступенек для B 0 равно r, то с.л.у. (1.10) сов-
местна и возможны следующие два случая.
   2а. Если количество ступенек r равняется числу неизвестных n,
то с.л.у. (1.10) является определенной. Приводя в этом случае мат-
рицу B 0 к виду Ж.—Г. (и вычеркивая нулевые строки), мы получим
матрицу                            µ      ¯    ¶
                                          ¯
                          B 00
                                = E ¯¯ β̄ ,                     (6.1)
                        n×(n+1)        n×n n×1

последний столбец которой определяет единственное решение систе-
мы (1.10): x̄0 = β̄.
  2б. Если r < n, то с.л.у. (1.10) является неопределенной и ее об-
щее решение содержит n − r свободных неизвестных, принимающих
произвольные значения. Для отыскания общего решения приведем
матрицу B 0 к модифицированному виду Ж.—Г. (и вычеркнем нуле-
вые строки), получим матрицу вида
                                    µ     ¯        ¯     ¶
                                          ¯        ¯
                       B 00     =      E ¯ H ¯ β̄ .                  (6.2)
                    r×(n+1)           r×r ¯ r×(n−r)¯ r×1


   В качестве свободных неизвестных можно выбрать неизвестные,
приходящиеся на зону матрицы H. Если предположить, что порядок
неизвестных в ходе преобразований не был изменен, то в качестве
свободных неизвестных будут фигурировать

                              xr+1 , xr+2 , . . . , xn ,

а общее решение системы (1.10) будет иметь следующую структуру:

             x̄ = xr+1 f¯r+1 + xr+2 f¯r+2 + · · · + xn f¯n + x̄0 ,   (6.3)

Страницы