Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 55 стр.

§5            Метод Жордана — Гаусса для матриц                  55


                                                    
                                    a     ∗ ... ∗
                                   0     ∗ ... ∗ 
               A −→ · · · −→                        .
                                   ...   ... ... ...
                                    0     ∗ ... ∗

   Обозначим A0 блок полученной матрицы, расположенный справа-
снизу от ключевого элемента. Повторим описанный выше шаг ал-
горитма применительно к строкам, начиная со второй, т. е. фак-
тически — применительно к матрице A0 (поскольку очевидно, что
при преобразованиях над этими строками ранее полученные нули
"не портятся"). Далее работа алгоритма продолжается и следует
оговорить условия "останова". Алгоритм заканчивает работу, если
   — либо достигнута последняя строка матрицы (и тогда получается
ступенчатый вид (5.1) для A с числом ступенек r, равным числу
строк m);
   — либо на некотором шаге (с номером r) достигнут последний
столбец матрицы (и тогда, после обнуления элементов ниже послед-
него ключевого, строки, начиная с (r + 1)-й, окажутся нулевыми);
   — либо после получения r-го ключевого элемента снизу-справа от
него образуется нулевая подматрица (и тогда получается ступенча-
тый вид (5.1) с числом ступенек r < m ).
   2. Получив ступенчатый вид (5.1), мы продолжим вычисления с
применением элементарных преобразований над строками типа III.
Можно сначала превратить все ключевые элементы в единицы. Ес-
ли, скажем, в i-й строке ключевым является элемент a, то, применяя
преобразование iстр · a1 , мы сделаем этот элемент единичным. Далее,
если в столбце над i-й ключевой единицей (в строке с номером k)
находится ненулевой элемент c, то мы его можем обнулить с помо-
щью преобразования типа II: k стр + iстр · (−c). Так мы придем к виду
Ж.—Г. (5.2).
   3. Если разрешается переставлять столбцы матрицы, то мы мо-
жем все ключевые столбцы матрицы (5.2) собрать в начале матрицы
и получить модифицированный вид Ж.—Г. (5.3). При этом в левом
верхнем углу матрицы сформируется единичная подматрица (блок)
E размера r × r [см. (5.3a)], где r — количество ступенек.
   4. Если разрешены элементарные преобразования над столбцами
типа II, то мы можем обнулить оставшиеся ненулевыми столбцы (в
зоне блока H). Скажем, j-й столбец матрицы (5.3), "пересекающий"
блок H