Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 58 стр.

58     Системы линейных уравнений и алгебра матриц             Гл. 1

где вектор x̄0 является частным решением системы (1.10), которое
получается, если положить все свободные неизвестные равными ну-
лю, а векторы f¯j (j = r+1, r+2, . . . , n) являются частными решени-
ями однородной системы (1.10h), отвечающей данной системе (1.10),
причем вектор f¯j получается, если положить xj = 1, а остальные
свободные неизвестные приравнять нулю.
   Доказательство. Может быть, у читателей сложилось впечатле-
ние, что сформулированная выше теорема чрезвычайно сложная и
что вообще таких теорем "не бывает". Действительно, математики
обычно стремятся к лаконичным формулировкам. И теорему 6.1 то-
же можно было бы сформулировать гораздо короче, указав только
условия, когда существует хотя бы одно решение и когда — ровно од-
но. Мы же, ориентируясь на практические вычисления, предпочли
в каждом из случаев указать явный способ отыскания и структуру
решения. К тому же при таком подходе доказательство будет не
намного длиннее формулировки.
   Итак, в соответствии с теоремой 5.1, матрицу B можно с помощью
элементарных преобразований типов I — II над строками привести
к ступенчатому виду B 0 . Если последняя, (r + 1)-я ступенька в B 0
(с ключевым элементом a 6= 0) приходится на последний столбец,
то (r + 1)-я строка этой матрицы будет соответствовать уравнению
0 · x1 + · · · + 0 · xn = a, что будет свидетельствовать о несовмест-
ности с.л.у., отвечающей матрице B 0 , а значит, и исходная система
несовместна.
   В противном случае число ступенек в матрицах A0 и B 0 одинаково
(и равно r).
   Если r = n, то ступеньки в A0 идут подряд по главной диаго-
нали, а все строки матрицы B 0 , начиная с (n + 1)-й (если они есть),
являются нулевыми и их можно вычеркнуть. Продолжая преобразо-
вания до достижения вида Ж.—Г., мы приведем эту матрицу к виду
(6.1). Теперь нам остается "считать" из последнего столбца ответ —
единственное решение с.л.у. (1.10).
   Если r < n, то ступеньки в матрице B 0 не будут идти все подряд и
неизвестные разделятся на два класса: главные (те, которые прихо-
дятся на ключевые столбцы) и свободные (все остальные). Нумера-
ция неизвестных есть фактор не слишком важный, и, хотя в прак-
тических примерах это будет не всегда так, ничто не мешает нам
при теоретическом анализе считать, что главными являются первые
r неизвестных. (Мы их занумеровали — мы и перенумеровать мо-
жем!)