Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 60 стр.

60      Системы линейных уравнений и алгебра матриц              Гл. 1

   Далее, как уже отмечалось в замечании 4.1, если бы данная сис-
тема была однородной, то она осталась бы таковой и под действием
элементарных преобразований. Для однородной с.л.у. мы получили
бы x̄0 = 0̄, и следовательно, первые n − r слагаемых в (6.3) дают
не что иное, как общее решение для однородной системы (1.10h),
соответствующей исходной неоднородной системе (1.10).
   Каждое слагаемое в о.р.о.

                x̄ = xr+1 f¯r+1 + xr+2 f¯r+2 + · · · + xn f¯n    (6.3h)

разъясняется следующим образом: если в (6.3h) положить одну из
свободных неизвестных xj = 1, а все остальные приравнять нулю, то
в правой части останется только вектор f¯j . Таким образом, векторы
f¯j (j = r+1, . . . , n) являются частными решениями (1.10h). (Ранее, в
примерах, они тоже получили специальное наименование — базисные
ч.р.о.)
    Этим и завершается доказательство теоремы. ¤
   Здесь читателю можно посоветовать еще раз просмотреть "опере-
дивший теорию" пример 4.1 и последующие замечания. Изложенная
в § 4 идея метода Ж.—Г. получила в теореме 6.2 детальное обоснова-
ние. Кроме того, получило подтверждение и дополнительное уточ-
нение правило (3.6): в качестве ч.р.н. в этой формуле может быть
выбрано опорное частное решение неоднородной системы, а о.р.о.
может быть расписано как линейная комбинация базисных ч.р.о.
     6.2. Случай однородной с.л.у.
   Предложение 6.1. Однородная с.л.у. (1.10h) имеет ненулевое
решение тогда и только тогда, когда количество ступенек в ступен-
чатом виде матрицы A меньше числа неизвестных n. В частности,
если число уравнений m < n, то однородная система имеет ненулевое
решение.
  Доказательство. Первое утверждение немедленно следует из те-
оремы 6.1, а второе — из того факта, что количество ступенек r не
превосходит количества уравнений m. ¤
  Заметьте, что у нас уже есть формула (6.3h) для общего решения
системы (1.10h). А только что доказанное (практически тривиаль-
ное) предложение 6.1 выделено особо, т. к. в последующих главах на
него придется неоднократно ссылаться.