Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

62 Системы линейных уравнений и алгебра матриц Гл. 1
§
§
§ 7. Некоторые типовые задачи:
системы линейных уравнений с параметром,
линейные матричные уравнения
7.1. С.л.у. с параметром. Рассмотрим с.л.у. вида (1.10), но в
которой матрица A и вектор
¯
b зависят от некоторого параметра (дей-
ствительного числа) λ:
A(λ) · ¯x =
¯
b(λ) . (7.1)
Задача с параметром — это всегда "исследовательская" задача.
Ход ее решения и ответ зависят от значения параметра. В различ-
ных случаях может быть различным характер системы: при одних
значениях λ она окажется определенной, при других — неопреде-
ленной или несовместной. Разберем некоторые особенности задач с
параметром на простом примере.
Пример 7.1. Решим при всех значениях параметра λ с.л.у.
λx
1
+ x
2
+ x
3
= 1;
x
1
+ λx
2
+ x
3
= 1;
x
1
+ x
2
+ λx
3
= 1.
Как и в примере 4.1, составим расширенную матрицу системы
B и подвергнем ее элементарным преобразованиям. Очень частой
ошибкой студентов при решении систем с параметром является по-
спешное рассмотрение случаев, кажущихся им "особыми". Напри-
мер, очень часто первой фразой решения становится: "Рассмотрим
случай λ = 0". (Аналогичную ошибку совершают многие абитури-
енты в школьных задачах с параметрами.) Однако случай λ = 0
совсем не обязан быть особым. Как правило, анализ случаев (осо-
бых и неособых) следует начинать лишь после того, как "наметился"
ступенчатый вид матрицы B, и различные случаи будут как раз от-
личаться различным количеством ступенек (для всей матрицы B и
в зоне матрицы A).
B =
x
1
x
2
x
3
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
1
3
стр
↔1
стр
−−−−−−−−−→
−→
x
1
x
2
x
3
1 1 λ
1 λ 1
λ 1 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
1
2
стр
+1
стр
·(−1)
−−−−−−−−−−−−→
3
стр
+1
стр
·(−λ)
62     Системы линейных уравнений и алгебра матриц           Гл. 1

            § 7. Некоторые типовые задачи:
     системы линейных уравнений с параметром,
           линейные матричные уравнения
   7.1. С.л.у. с параметром. Рассмотрим с.л.у. вида (1.10), но в
которой матрица A и вектор b̄ зависят от некоторого параметра (дей-
ствительного числа) λ:
                          A(λ) · x̄ = b̄(λ) .                 (7.1)
  Задача с параметром — это всегда "исследовательская" задача.
Ход ее решения и ответ зависят от значения параметра. В различ-
ных случаях может быть различным характер системы: при одних
значениях λ она окажется определенной, при других — неопреде-
ленной или несовместной. Разберем некоторые особенности задач с
параметром на простом примере.
   Пример 7.1. Решим при всех значениях параметра λ с.л.у.
                 
                  λx1 + x2 + x3 = 1;
                    x1 + λx2 + x3 = 1;
                 
                    x1 + x2 + λx3 = 1.
   Как и в примере 4.1, составим расширенную матрицу системы
B и подвергнем ее элементарным преобразованиям. Очень частой
ошибкой студентов при решении систем с параметром является по-
спешное рассмотрение случаев, кажущихся им "особыми". Напри-
мер, очень часто первой фразой решения становится: "Рассмотрим
случай λ = 0". (Аналогичную ошибку совершают многие абитури-
енты в школьных задачах с параметрами.) Однако случай λ = 0
совсем не обязан быть особым. Как правило, анализ случаев (осо-
бых и неособых) следует начинать лишь после того, как "наметился"
ступенчатый вид матрицы B, и различные случаи будут как раз от-
личаться различным количеством ступенек (для всей матрицы B и
в зоне матрицы A).
                                  ¯    
                    x1    x2   x3 ¯
                 λ                ¯
                         1    1 ¯ 1  3стр ↔1стр
            B=                    ¯     −−−−−−−−−→
                     1    λ    1 ¯ 1
                                   ¯
                     1    1    λ      1
               
                  x1   x2    x3 ¯¯     
                1               ¯
                       1    λ   ¯ 1  2стр +1стр ·(−1)
           −→                   ¯      −−−стр
                                             −−−−  −−−−−→
                  1     λ    1 ¯¯ 1        3    +1стр ·(−λ)
                  λ     1    1      1

Страницы