Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 61 стр.

§6        Метод Жордана — Гаусса для линейных систем            61

     6.3. Случай квадратной с.л.у. Альтернатива Фредгольма

   Определение 6.1. С.л.у. (1.10) называется квадратной, если яв-
ляется квадратной матрица A, т. е. если число уравнений m равня-
ется числу неизвестных n.

   Следующее предложение обычно называют альтернативой Фред-
гольма. Автору хотелось бы, чтобы это словосочетание сохранилось
в памяти повзрослевших (и "доучившихся" до функционального ана-
лиза и интегральных уравнений) читателей и чтобы формулируемое
ниже простое (конечномерное) утверждение облегчило им понимание
новой, значительно более сложной (бесконечномерной) задачи.

  Предложение 6.2. Для квадратной с.л.у. (1.10) и соответству-
ющей однородной с.л.у. (1.10h) выполняется одно (и только одно) из
следующих утверждений:
  1) либо система (1.10h) имеет только нулевое решение, и тогда
система (1.10) является определенной при любой правой части b̄;
  2) либо (1.10h) имеет нетривиальное решение, и тогда, в зави-
симости от b̄, система (1.10) может быть либо несовместной, либо
неопределенной.

   Доказательство. Пусть система (1.10h) имеет только нулевое ре-
шение. Тогда, по предложению 6.1, число ступенек r в ступенчатом
виде A0 матрицы A равняется числу неизвестных n. А поскольку си-
стема предполагается квадратной (m = n), то эти ступеньки идут
подряд и имеются в каждой строке матрицы A0 . При переходе к рас-
ширенной матрице (4.3), отвечающей неоднородной с.л.у. (1.10), мы
замечаем, что вне зависимости от правой части b̄ дополнительная
ступенька в последнем столбце появиться не может (на нее просто
"не хватит строк"). Значит, по теореме 6.1, система (1.10) будет
совместной и определенной.
   Если же система (1.10h) имеет ненулевое решение, то, по предло-
жению 6.1, r < n. В силу теоремы 6.1, система (1.10) будет неопреде-
ленной, если окажется совместной. Но она может оказаться и несов-
местной, ибо для последней, (r + 1)-й ступеньки в последнем столбце
теперь "есть место" и она может появиться. ¤