Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 7 Типовые задачи 63
−→
x
1
x
2
x
3
1 1 λ
0 λ − 1 1 − λ
0 1 − λ 1 − λ
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
1 − λ
−→ ...
Хотя ступенчатый вид наметился пока не полностью, тем не менее
мы можем заметить первый особый случай:
1) λ = 1 .
При таком значении параметра две последние строки полностью
обнуляются и могут быть вычеркнуты, количество ступенек равня-
ется 1 и остается решить систему из одного уравнения:
x
1
+ x
2
+ x
3
= 1.
Ответ для первого случая:
¯x = x
2
−1
1
0
+ x
3
−1
0
1
+
1
0
0
.
Система в этом случае является неопределенной.
Рассмотрим теперь противоположный случай:
2) λ 6= 1 .
Продолжим преобразования:
...
2
стр
·
1
λ−1
−−−−−−−−−−→
3
стр
·
1
1−λ
x
1
x
2
x
3
1 1 λ
0 1 −1
0 1 1 + λ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
1
−→
1
стр
+2
стр
·(−1)
−−−−−−−−−−→
3
стр
+2
стр
·(−1)
x
1
x
2
x
3
1 0 λ + 1
0 1 −1
0 0 λ + 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
1
−→ ...
Теперь ступенчатый вид намечен полностью. Но именно "наме-
чен", поскольку расположение ступенек зависит от λ. Второй случай
§7                                 Типовые задачи                          63

                                               ¯     
                         x1         x2         x3
                                                ¯
                   1                           ¯
                                     1     λ    ¯ 1 
               −→ 
                   0                           ¯      −→ ...
                                   λ − 1 1 − λ ¯¯ 0
                    0              1 − λ 1 − λ2 1 − λ
  Хотя ступенчатый вид наметился пока не полностью, тем не менее
мы можем заметить первый особый случай:

                                       1) λ = 1 .

   При таком значении параметра две последние строки полностью
обнуляются и могут быть вычеркнуты, количество ступенек равня-
ется 1 и остается решить систему из одного уравнения:

                                   x1 + x2 + x3 = 1.

     Ответ для первого случая:
                                         
                           −1          −1      1
                  x̄ = x2  1  + x3  0  +  0  .
                            0           1      0

     Система в этом случае является неопределенной.
     Рассмотрим теперь противоположный случай:

                                       2) λ 6= 1 .

     Продолжим преобразования:
                                                            ¯   
                                         x1       x2     x3  ¯
                  2стр · λ−1
                          1       1                         ¯
                                                   1     λ ¯ 1 
            ...−−−−−−−−      −−→ 
                                                            ¯    −→
                           1
                   3стр · 1−λ        0             1     −1 ¯¯ 0
                                     0             1    1+λ    1
                                                           ¯   
                                  x1          x2        x3  ¯
             1стр +2стр ·(−1)  1
                                                            ¯
                                              0        λ+1 ¯ 1 
           −−стр
               −−−−   −−−−→                                ¯    −→ ...
             3    +2 стр ·(−1)  0            1         −1 ¯¯ 0
                                  0           0        λ+2    1
  Теперь ступенчатый вид намечен полностью. Но именно "наме-
чен", поскольку расположение ступенек зависит от λ. Второй случай

Страницы